5.求极限 lim _(xarrow +infty )((sqrt [x]{x)-1)}^dfrac (1{x)}

考查要点：本题主要考查极限的计算方法，特别是处理形如$1^\infty$型不定式的技巧，以及利用自然对数和等价无穷小进行化简的能力。

解题核心思路：

1. 识别极限类型：原式为$(\sqrt[x]{x} -1)^{1/x}$，当$x \to +\infty$时，$\sqrt[x]{x} \to 1$，因此底数趋近于$0$，指数趋近于$0$，属于$0^0$型不定式。
2. 对数转换：通过取自然对数将原式转化为指数函数形式，简化计算。
3. 等价无穷小替换：利用$x^{1/x} = e^{\frac{\ln x}{x}} \approx 1 + \frac{\ln x}{x}$展开，将底数近似为$\frac{\ln x}{x}$。
4. 极限化简：结合指数函数的连续性，最终通过计算指数部分的极限得出结果。

破题关键点：

• 正确展开$x^{1/x}$，将其转化为$1 + \frac{\ln x}{x}$。
• 合理处理自然对数后的表达式，利用$\ln(ab) = \ln a + \ln b$拆分项。
• 判断高阶无穷小的忽略条件，简化极限表达式。

设原式为$L = \lim _{x\rightarrow +\infty }{(\sqrt [x]{x}-1)}^{\dfrac {1}{x}}$，步骤如下：

步骤1：取自然对数

对$L$取自然对数：
$\ln L = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} \ln \left( x^{1/x} - 1 \right).$

步骤2：展开$x^{1/x}$

利用$x^{1/x} = e^{\frac{\ln x}{x}}$，当$x \to +\infty$时，$\frac{\ln x}{x} \to 0$，因此：
$x^{1/x} - 1 \approx e^{\frac{\ln x}{x}} - 1 \approx \frac{\ln x}{x} + \frac{(\ln x)^2}{2x^2} + \cdots \approx \frac{\ln x}{x}.$

步骤3：代入近似表达式

将$x^{1/x} - 1 \approx \frac{\ln x}{x}$代入$\ln L$：
$\ln L \approx \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} \ln \left( \frac{\ln x}{x} \right).$

步骤4：拆分对数

拆分对数项：
$\ln \left( \frac{\ln x}{x} \right) = \ln (\ln x) - \ln x.$

步骤5：计算极限

代入后得：
$\ln L = \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln (\ln x) - \ln x}{x}.$
当$x \to +\infty$时，$\ln (\ln x)$增长远慢于$\ln x$，因此分子近似为$-\ln x$，故：
$\ln L \approx \lim_{x \to +\infty} \frac{-\ln x}{x} = 0.$

步骤6：还原结果

因此：
$L = e^{\ln L} = e^0 = 1.$