题目
2. (int )_(0)^1dx(int )_(x)^1(e)^-(y^2)dy= () .-|||-A. https:/img.zuoyebang.cc/zyb_e4457351ea411ca774f37c11bff71b99.jpg-(e)^-1 B. dfrac (1)(2)(1-(e)^-1) C. 1-e D. dfrac (1)(2)(1-e)
题目解答
答案
解析
步骤 1：交换积分次序
原积分是关于x和y的二重积分，积分区域是$0 \leq x \leq 1$和$x \leq y \leq 1$。为了简化计算，我们交换积分次序，将积分区域转换为$0 \leq y \leq 1$和$0 \leq x \leq y$。
步骤 2：计算交换次序后的积分
交换次序后，原积分变为${\int }_{0}^{1}dy{\int }_{0}^{y}{e}^{-{y}^{2}}dx$。由于${e}^{-{y}^{2}}$与x无关，可以将其提出来，积分变为${\int }_{0}^{1}{e}^{-{y}^{2}}dy{\int }_{0}^{y}dx$。
步骤 3：计算内层积分
内层积分${\int }_{0}^{y}dx$等于y，因此原积分变为${\int }_{0}^{1}y{e}^{-{y}^{2}}dy$。
步骤 4：计算外层积分
外层积分${\int }_{0}^{1}y{e}^{-{y}^{2}}dy$可以通过换元法计算，令$u=-{y}^{2}$，则$du=-2ydy$，积分变为$-\dfrac {1}{2}{\int }_{0}^{-1}{e}^{u}du$。计算得$-\dfrac {1}{2}{e}^{u}{\% }_{0}^{-1}=-\dfrac {1}{2}{e}^{-1}+\dfrac {1}{2}$。
原积分是关于x和y的二重积分，积分区域是$0 \leq x \leq 1$和$x \leq y \leq 1$。为了简化计算，我们交换积分次序，将积分区域转换为$0 \leq y \leq 1$和$0 \leq x \leq y$。
步骤 2：计算交换次序后的积分
交换次序后，原积分变为${\int }_{0}^{1}dy{\int }_{0}^{y}{e}^{-{y}^{2}}dx$。由于${e}^{-{y}^{2}}$与x无关，可以将其提出来，积分变为${\int }_{0}^{1}{e}^{-{y}^{2}}dy{\int }_{0}^{y}dx$。
步骤 3：计算内层积分
内层积分${\int }_{0}^{y}dx$等于y，因此原积分变为${\int }_{0}^{1}y{e}^{-{y}^{2}}dy$。
步骤 4：计算外层积分
外层积分${\int }_{0}^{1}y{e}^{-{y}^{2}}dy$可以通过换元法计算，令$u=-{y}^{2}$，则$du=-2ydy$，积分变为$-\dfrac {1}{2}{\int }_{0}^{-1}{e}^{u}du$。计算得$-\dfrac {1}{2}{e}^{u}{\% }_{0}^{-1}=-\dfrac {1}{2}{e}^{-1}+\dfrac {1}{2}$。