题目
3.下列函数在指出的点处间断,说明这些间断点属于哪一类.如果是可去间断点,那么补充或改变函数-|||-的定义使它连续:-|||-(1) =dfrac ({x)^2-1}({x)^2-3x+2} ,=1, =2;-|||-(2) =dfrac (x)(tan x) =kpi ,=kpi +dfrac (pi )(2)(k=0,pm 1,pm 2,... ) ;-|||-(3) =(cos )^2dfrac (1)(x),x=0 ;-|||-(4) y= ) x-1, xleqslant 1 3-x, xgt 1 . ,x=1.-|||-,
题目解答
答案
解析
步骤 1：分析函数 $y=\dfrac {{x}^{2}-1}{{x}^{2}-3x+2}$ 在 x=1 和 x=2 处的间断点类型
函数 $y=\dfrac {{x}^{2}-1}{{x}^{2}-3x+2}$ 可以分解为 $y=\dfrac {(x+1)(x-1)}{(x-2)(x-1)}$。在 x=1 处，分子和分母都为零，因此需要计算极限来确定间断点的类型。在 x=2 处，分母为零，分子不为零，因此需要计算极限来确定间断点的类型。
步骤 2：计算 x=1 处的极限
$\lim _{x\rightarrow 1}y=\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {(x+1)}{(x-2)}=-2$，因此 x=1 是函数的第一类间断点，且是可去间断点。在 x=1 处，令 y=-2，则函数在 x=1 处连续。
步骤 3：计算 x=2 处的极限
$\lim _{x\rightarrow 2}y=\lim _{x\rightarrow 2}\dfrac {{x}^{2}-1}{{x}^{2}-3x+2}=\infty$，因此 x=2 是函数的第二类间断点。
步骤 4：分析函数 $y=\dfrac {x}{\tan x}$ 在 $x=k\pi$ 和 $x=k\pi +\dfrac {\pi }{2}$ 处的间断点类型
在 $x=k\pi$ 处，$\tan x=0$，因此需要计算极限来确定间断点的类型。在 $x=k\pi +\dfrac {\pi }{2}$ 处，$\tan x$ 不存在，因此需要计算极限来确定间断点的类型。
步骤 5：计算 $x=k\pi$ 处的极限
$\lim _{x\rightarrow k\pi }\dfrac {x}{\tan x}=\infty (k\neq 0)$，因此 $x=k\pi (k\neq 0)$ 是第二类间断点。当 x=0 时，$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {x}{\tan x}=1$，因此 x=0 是第一类间断点且是可去间断点。在 x=0 处，令 y=0，则函数在 x=0 处连续。
步骤 6：计算 $x=k\pi +\dfrac {\pi }{2}$ 处的极限
$\lim _{x\rightarrow k\pi +\dfrac {\pi }{2}}\dfrac {x}{\tan x}=0(k\in Z)$，因此 $x=k\pi +\dfrac {\pi }{2}(k\in Z)$ 是第一类间断点且是可去间断点。在 $x=k\pi +\dfrac {\pi }{2}(k\in Z)$ 处，令 y=0，则函数在 $x=k\pi +\dfrac {\pi }{2}(k\in Z)$ 处连续。
步骤 7：分析函数 $y={\cos }^{2}\dfrac {1}{x}$ 在 x=0 处的间断点类型
函数 $y={\cos }^{2}\dfrac {1}{x}$ 在 x=0 处无定义，又因为 $\lim _{x\rightarrow 0}{\cos }^{2}\dfrac {1}{x}$ 不存在，所以 x=0 是函数的第二类间断点。
步骤 8：分析函数 $y=\left \{ \begin{matrix} x-1,\quad x\leqslant 1\\ 3-x,\quad x\gt 1\end{matrix} \right.$ 在 x=1 处的间断点类型
因为 $\lim _{x\rightarrow {1}^{-}}f(x)=\lim _{x\rightarrow 1}(x-1)=0$，$\lim _{x\rightarrow {1}^{+}}f(x)=\lim _{x\rightarrow {1}^{+}}(3-x)=2$，所以 x=1 是函数的第一类间断点，且是跳跃间断点。
函数 $y=\dfrac {{x}^{2}-1}{{x}^{2}-3x+2}$ 可以分解为 $y=\dfrac {(x+1)(x-1)}{(x-2)(x-1)}$。在 x=1 处，分子和分母都为零，因此需要计算极限来确定间断点的类型。在 x=2 处，分母为零，分子不为零，因此需要计算极限来确定间断点的类型。
步骤 2：计算 x=1 处的极限
$\lim _{x\rightarrow 1}y=\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {(x+1)}{(x-2)}=-2$，因此 x=1 是函数的第一类间断点，且是可去间断点。在 x=1 处，令 y=-2，则函数在 x=1 处连续。
步骤 3：计算 x=2 处的极限
$\lim _{x\rightarrow 2}y=\lim _{x\rightarrow 2}\dfrac {{x}^{2}-1}{{x}^{2}-3x+2}=\infty$，因此 x=2 是函数的第二类间断点。
步骤 4：分析函数 $y=\dfrac {x}{\tan x}$ 在 $x=k\pi$ 和 $x=k\pi +\dfrac {\pi }{2}$ 处的间断点类型
在 $x=k\pi$ 处，$\tan x=0$，因此需要计算极限来确定间断点的类型。在 $x=k\pi +\dfrac {\pi }{2}$ 处，$\tan x$ 不存在，因此需要计算极限来确定间断点的类型。
步骤 5：计算 $x=k\pi$ 处的极限
$\lim _{x\rightarrow k\pi }\dfrac {x}{\tan x}=\infty (k\neq 0)$，因此 $x=k\pi (k\neq 0)$ 是第二类间断点。当 x=0 时，$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {x}{\tan x}=1$，因此 x=0 是第一类间断点且是可去间断点。在 x=0 处，令 y=0，则函数在 x=0 处连续。
步骤 6：计算 $x=k\pi +\dfrac {\pi }{2}$ 处的极限
$\lim _{x\rightarrow k\pi +\dfrac {\pi }{2}}\dfrac {x}{\tan x}=0(k\in Z)$，因此 $x=k\pi +\dfrac {\pi }{2}(k\in Z)$ 是第一类间断点且是可去间断点。在 $x=k\pi +\dfrac {\pi }{2}(k\in Z)$ 处，令 y=0，则函数在 $x=k\pi +\dfrac {\pi }{2}(k\in Z)$ 处连续。
步骤 7：分析函数 $y={\cos }^{2}\dfrac {1}{x}$ 在 x=0 处的间断点类型
函数 $y={\cos }^{2}\dfrac {1}{x}$ 在 x=0 处无定义，又因为 $\lim _{x\rightarrow 0}{\cos }^{2}\dfrac {1}{x}$ 不存在，所以 x=0 是函数的第二类间断点。
步骤 8：分析函数 $y=\left \{ \begin{matrix} x-1,\quad x\leqslant 1\\ 3-x,\quad x\gt 1\end{matrix} \right.$ 在 x=1 处的间断点类型
因为 $\lim _{x\rightarrow {1}^{-}}f(x)=\lim _{x\rightarrow 1}(x-1)=0$，$\lim _{x\rightarrow {1}^{+}}f(x)=\lim _{x\rightarrow {1}^{+}}(3-x)=2$，所以 x=1 是函数的第一类间断点，且是跳跃间断点。