函数v=x+y是函数u=x+y的共轭调和函数.A. 对B. 错

考查要点：本题主要考查共轭调和函数的定义及其判定条件，涉及调和函数的判定和柯西-黎曼方程的应用。

解题核心思路：

1. 调和函数的判定：验证函数$u$和$v$是否满足拉普拉斯方程（即$\Delta u = 0$且$\Delta v = 0$）。
2. 柯西-黎曼方程的验证：检查$u$和$v$是否满足柯西-黎曼方程，即：
   $\begin{cases} \dfrac{\partial u}{\partial x} = \dfrac{\partial v}{\partial y} \\ \dfrac{\partial u}{\partial y} = -\dfrac{\partial v}{\partial x} \end{cases}$

破题关键点：

• 调和函数的判定：计算二阶偏导数之和是否为零。
• 柯西-黎曼方程的验证：逐项代入偏导数，判断等式是否成立。

步骤1：验证调和函数

1. 计算$u = x + y$的拉普拉斯算子：
   $\Delta u = \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0 + 0 = 0$
   因此，$u$是调和函数。

2. 计算$v = x + y$的拉普拉斯算子：
   $\Delta v = \dfrac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 v}{\partial y^2} = 0 + 0 = 0$
   因此，$v$也是调和函数。

步骤2：验证柯西-黎曼方程

1. 计算偏导数：
   $\dfrac{\partial u}{\partial x} = 1, \quad \dfrac{\partial u}{\partial y} = 1, \quad \dfrac{\partial v}{\partial x} = 1, \quad \dfrac{\partial v}{\partial y} = 1$

2. 代入柯西-黎曼方程：

   • 第一个方程成立：
     $\dfrac{\partial u}{\partial x} = 1 = \dfrac{\partial v}{\partial y} = 1$
   • 第二个方程不成立：
     $\dfrac{\partial u}{\partial y} = 1 \neq -\dfrac{\partial v}{\partial x} = -1$

结论：虽然$u$和$v$均为调和函数，但它们不满足柯西-黎曼方程，因此$v$不是$u$的共轭调和函数。