题目
若线性方程组} lambda x_(1)+x_(2)+x_(3)=0,& x_(1)+ lambda x_(2)+x_(3)=0, x_(1)+x_(2)+x_(3)=0 只有零解,则lambda应满足的条件是___.
若线性方程组$\begin{cases} \lambda x_{1}+x_{2}+x_{3}=0,&\\ x_{1}+ \lambda x_{2}+x_{3}=0,\\ x_{1}+x_{2}+x_{3}=0\\ \end{cases}$只有零解,则$\lambda$应满足的条件是___.
题目解答
答案
$\lambda\neq 1$
解析
步骤 1：写出系数矩阵
线性方程组的系数矩阵为
$$
A = \begin{pmatrix}
\lambda & 1 & 1 \\
1 & \lambda & 1 \\
1 & 1 & 1
\end{pmatrix}
$$
步骤 2：计算行列式
为了使方程组只有零解，系数矩阵的行列式必须不为零。计算行列式
$$
\det(A) = \begin{vmatrix}
\lambda & 1 & 1 \\
1 & \lambda & 1 \\
1 & 1 & 1
\end{vmatrix}
$$
步骤 3：行列式展开
$$
\det(A) = \lambda(\lambda - 1) - (1 - 1) + (1 - \lambda) = \lambda^2 - \lambda - \lambda + 1 = \lambda^2 - 2\lambda + 1 = (\lambda - 1)^2
$$
步骤 4：确定$\lambda$的条件
为了使方程组只有零解，行列式$\det(A)$必须不为零，即$(\lambda - 1)^2 \neq 0$。因此，$\lambda \neq 1$。
线性方程组的系数矩阵为
$$
A = \begin{pmatrix}
\lambda & 1 & 1 \\
1 & \lambda & 1 \\
1 & 1 & 1
\end{pmatrix}
$$
步骤 2：计算行列式
为了使方程组只有零解，系数矩阵的行列式必须不为零。计算行列式
$$
\det(A) = \begin{vmatrix}
\lambda & 1 & 1 \\
1 & \lambda & 1 \\
1 & 1 & 1
\end{vmatrix}
$$
步骤 3：行列式展开
$$
\det(A) = \lambda(\lambda - 1) - (1 - 1) + (1 - \lambda) = \lambda^2 - \lambda - \lambda + 1 = \lambda^2 - 2\lambda + 1 = (\lambda - 1)^2
$$
步骤 4：确定$\lambda$的条件
为了使方程组只有零解，行列式$\det(A)$必须不为零，即$(\lambda - 1)^2 \neq 0$。因此，$\lambda \neq 1$。