9.填空题lim_((x,y)to(2,0))(tan(xy))/(y)=_.

为了求解极限 $\lim_{(x,y)\to(2,0)}\frac{\tan(xy)}{y}$，我们可以使用变量代换和等价无穷小的性质。下面是一个逐步的解题过程： 1. **变量代换**：令 $z = xy$。当 $(x, y) \to (2, 0)$ 时，由于 $x$ 趋近于 2 而 $y$ 趋近于 0，所以 $z = xy \to 2 \cdot 0 = 0$。 2. **重写极限**：将 $y$ 用 $z$ 和 $x$ 表示，得到 $y = \frac{z}{x}$。于是，原极限可以重写为： \[ \lim_{(x,y)\to(2,0)}\frac{\tan(xy)}{y} = \lim_{z \to 0} \frac{\tan(z)}{\frac{z}{x}} = \lim_{z \to 0} \frac{x \tan(z)}{z}. \] 3. **使用等价无穷小**：当 $z \to 0$ 时，$\tan(z) \sim z$，即 $\tan(z)$ 与 $z$ 是等价无穷小。因此，可以将 $\tan(z)$ 替换为 $z$： \[ \lim_{z \to 0} \frac{x \tan(z)}{z} = \lim_{z \to 0} \frac{x z}{z} = \lim_{z \to 0} x. \] 4. **求极限**：当 $z \to 0$ 时，$x \to 2$，所以： \[ \lim_{z \to 0} x = 2. \] 因此，原极限的值为 $\boxed{2}$。