4.证明:若f在点x0连续,则|f|与f ^2也在点x0连续.又问:若|f|或f^2在I上连续,那么f在-|||-I上是否必连续?

步骤 1：证明|f|在点x0处连续
由于f(x)在点x0处连续，对任意给定的 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得当 $|x - x_0| < \delta$ 时，有 $|f(x) - f(x_0)| < \varepsilon$。根据不等式 $||a| - |b|| \leqslant |a - b|$，当 $|x - x_0| < \delta$ 时，有 $||f(x)| - |f(x_0)|| \leqslant |f(x) - f(x_0)| < \varepsilon$。因此，$\lim_{x \to x_0} |f(x)| = |f(x_0)|$，即|f(x)|在点x0处连续。

步骤 2：证明f^2在点x0处连续
由于 $f^2 = |f| \cdot |f|$，而|f|在点x0处连续，根据连续函数的乘积仍为连续函数的性质，f^2(x)在点x0处连续。

步骤 3：讨论|f|或f^2在I上连续时，f在I上是否必连续
当|f|或f^2在I上连续时，f在I上不一定连续。例如，定义函数f(x)如下：
$$
f(x) = \begin{cases}
1, & x \text{为整数} \\
-1, & x \text{为非整数}
\end{cases}
$$
则|f|与f^2为常值函数，在R上处处连续，但f(x)在R上不连续。