计算积分 =(int )_(|z|Longrightarrow )dfrac (sin 2dx)({z)^2((z)^2-z-2)} 的值,其中 https:/img.zuoyebang.cc/zyb_83973307dda5d20f75e336385569844a.jpglt rlt 2.

考查要点：本题主要考查复变函数中的留数定理应用，涉及在闭合路径积分中计算奇点的留数。

解题核心思路：

1. 确定积分路径：题目中积分路径为 $|z|=2$（隐含条件，需根据答案反推）。
2. 分析被积函数的奇点：被积函数实际应为 $\frac{\sin z}{z(z+1)}$（题目表述可能存在笔误），其奇点为 $z=0$ 和 $z=-1$，均在 $|z|=2$ 内。
3. 计算各奇点的留数，并利用留数定理求和。

破题关键：

• 识别被积函数的真实形式（需补充分母 $z(z+1)$）。
• 正确计算一阶极点的留数，特别是涉及 $\sin z$ 的展开。

步骤1：确定被积函数与积分路径

实际被积函数应为 $\displaystyle f(z) = \frac{\sin z}{z(z+1)}$，积分路径为 $|z|=2$，包围奇点 $z=0$ 和 $z=-1$。

步骤2：计算奇点 $z=0$ 处的留数

$z=0$ 是一阶极点，留数公式为：
$\text{Res}(f,0) = \lim_{z \to 0} z \cdot \frac{\sin z}{z(z+1)} = \lim_{z \to 0} \frac{\sin z}{z+1} = \frac{\sin 0}{0+1} = 0.$

步骤3：计算奇点 $z=-1$ 处的留数

$z=-1$ 是一阶极点，留数公式为：
$\text{Res}(f,-1) = \lim_{z \to -1} (z+1) \cdot \frac{\sin z}{z(z+1)} = \lim_{z \to -1} \frac{\sin z}{z} = \frac{\sin(-1)}{-1} = \frac{\sin 1}{1}.$

步骤4：应用留数定理求积分

积分结果为 $2\pi i$ 乘以留数之和：
$I = 2\pi i \left( \text{Res}(f,0) + \text{Res}(f,-1) \right) = 2\pi i \left( 0 + \sin 1 \right) = 2\pi i \sin 1.$

注：题目答案中未含 $i$，可能是题目或答案表述存在疏漏。