题目
y-|||-5--|||-4-|||-3-|||-A|2-|||-2-|||-o M M1M 2|M 3 x-|||--1-|||--2如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，2），在x轴上任取一点M，完成以下作图步骤：①连接AM，作AM的垂直平分线l1，过点M作x轴的垂线l2，记l1，l2的交点为P；②在x轴上多次改变M点的位置，用①的方法得到相应的点P．（1）小明按要求已完成了①的作图，并确定了M1，M2，M3的位置，请你帮他完成余下的作图步骤，描出对应的P1，P2，P3…并把这些点用平滑的曲线连接起来，观察画出的曲线L，猜想它是我们学过的哪一种曲线；（2）对于曲线L上的任意一点P，线段PA与PM有什么关系？设点P的坐标是（x，y），试求出x，y满足的函数关系式；（提示：根据勾股定理用含x，y的式子表示线段PA的长．）（3）若直线y=kx+b经过定A，且与x轴的夹角为45°，直接写出该直线与（2）中的曲线L的交点坐标．
如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，2），在x轴上任取一点M，完成以下作图步骤：①连接AM，作AM的垂直平分线l1，过点M作x轴的垂线l2，记l1，l2的交点为P；②在x轴上多次改变M点的位置，用①的方法得到相应的点P．（1）小明按要求已完成了①的作图，并确定了M1，M2，M3的位置，请你帮他完成余下的作图步骤，描出对应的P1，P2，P3…并把这些点用平滑的曲线连接起来，观察画出的曲线L，猜想它是我们学过的哪一种曲线；
（2）对于曲线L上的任意一点P，线段PA与PM有什么关系？设点P的坐标是（x，y），试求出x，y满足的函数关系式；（提示：根据勾股定理用含x，y的式子表示线段PA的长．）
（3）若直线y=kx+b经过定A，且与x轴的夹角为45°，直接写出该直线与（2）中的曲线L的交点坐标．
题目解答
答案
解：（1）如图，曲线l即为所求，图象是抛物线；
（2）结论：PA=PM．
理由：点P在AM的垂直平分线上，
∴PA=PM．
∴y2=x2+（y-2）2，
∴y=$\frac{1}{4}$x2+1；
（3）由题意最小的解析式为y=x+2或y=-x+2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{y=\frac{1}{4}{x}^{2}+1}\end{array}\right.$，解得，$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2\sqrt{2}}\\{y=4+2\sqrt{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2-2\sqrt{2}}\\{y=4-2\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
∴直线y=x+2与抛物线的交点的坐标为（2+2$\sqrt{2}$，4+2$\sqrt{2}$）或（2-2$\sqrt{2}$，4-2$\sqrt{2}$）．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+2}\\{y=\frac{1}{4}{x}^{2}+1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+2\sqrt{2}}\\{y=4-2\sqrt{2}}\end{array}\right.$和$\left\{\begin{array}{l}{x=-2-2\sqrt{2}}\\{y=4+2\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
∴直线y=-x+2与抛物线的交点的坐标为（-2+2$\sqrt{2}$，4-2$\sqrt{2}$）或（-2-2$\sqrt{2}$，4+2$\sqrt{2}$）．
综上所述，直线与（2）中的曲线L的交点坐标为（2+2$\sqrt{2}$，4+2$\sqrt{2}$）或（2-2$\sqrt{2}$，4-2$\sqrt{2}$）或（-2+2$\sqrt{2}$，4-2$\sqrt{2}$）或（-2-2$\sqrt{2}$，4+2$\sqrt{2}$）．
（2）结论：PA=PM．
理由：点P在AM的垂直平分线上，
∴PA=PM．
∴y2=x2+（y-2）2，
∴y=$\frac{1}{4}$x2+1；
（3）由题意最小的解析式为y=x+2或y=-x+2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{y=\frac{1}{4}{x}^{2}+1}\end{array}\right.$，解得，$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2\sqrt{2}}\\{y=4+2\sqrt{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2-2\sqrt{2}}\\{y=4-2\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
∴直线y=x+2与抛物线的交点的坐标为（2+2$\sqrt{2}$，4+2$\sqrt{2}$）或（2-2$\sqrt{2}$，4-2$\sqrt{2}$）．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+2}\\{y=\frac{1}{4}{x}^{2}+1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+2\sqrt{2}}\\{y=4-2\sqrt{2}}\end{array}\right.$和$\left\{\begin{array}{l}{x=-2-2\sqrt{2}}\\{y=4+2\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
∴直线y=-x+2与抛物线的交点的坐标为（-2+2$\sqrt{2}$，4-2$\sqrt{2}$）或（-2-2$\sqrt{2}$，4+2$\sqrt{2}$）．
综上所述，直线与（2）中的曲线L的交点坐标为（2+2$\sqrt{2}$，4+2$\sqrt{2}$）或（2-2$\sqrt{2}$，4-2$\sqrt{2}$）或（-2+2$\sqrt{2}$，4-2$\sqrt{2}$）或（-2-2$\sqrt{2}$，4+2$\sqrt{2}$）．
解析
步骤 1：完成作图步骤
根据题目要求，我们首先需要完成作图步骤。对于每个点M，连接AM，作AM的垂直平分线l_1，过点M作x轴的垂线l_2，记l_1，l_2的交点为P。通过多次改变M点的位置，我们得到相应的点P。将这些点用平滑的曲线连接起来，观察画出的曲线L，可以发现它是一条抛物线。
步骤 2：分析PA与PM的关系
对于曲线L上的任意一点P，由于P在AM的垂直平分线上，所以PA=PM。设点P的坐标是（x，y），则根据勾股定理，PA的长度可以用含x，y的式子表示。由于A的坐标是（0，2），所以PA的长度为$\sqrt{x^2 + (y-2)^2}$。由于PA=PM，而PM的长度为y，所以有$\sqrt{x^2 + (y-2)^2} = y$。化简这个方程，可以得到x，y满足的函数关系式。
步骤 3：求解交点坐标
对于直线y=kx+b，由于它经过点A（0，2），所以b=2。又因为直线与x轴的夹角为45°，所以k=±1。因此，直线的方程为y=x+2或y=-x+2。将这两个方程分别与抛物线的方程联立，解方程组，可以得到直线与抛物线的交点坐标。
根据题目要求，我们首先需要完成作图步骤。对于每个点M，连接AM，作AM的垂直平分线l_1，过点M作x轴的垂线l_2，记l_1，l_2的交点为P。通过多次改变M点的位置，我们得到相应的点P。将这些点用平滑的曲线连接起来，观察画出的曲线L，可以发现它是一条抛物线。
步骤 2：分析PA与PM的关系
对于曲线L上的任意一点P，由于P在AM的垂直平分线上，所以PA=PM。设点P的坐标是（x，y），则根据勾股定理，PA的长度可以用含x，y的式子表示。由于A的坐标是（0，2），所以PA的长度为$\sqrt{x^2 + (y-2)^2}$。由于PA=PM，而PM的长度为y，所以有$\sqrt{x^2 + (y-2)^2} = y$。化简这个方程，可以得到x，y满足的函数关系式。
步骤 3：求解交点坐标
对于直线y=kx+b，由于它经过点A（0，2），所以b=2。又因为直线与x轴的夹角为45°，所以k=±1。因此，直线的方程为y=x+2或y=-x+2。将这两个方程分别与抛物线的方程联立，解方程组，可以得到直线与抛物线的交点坐标。