设f（x）具有二阶连续导数，且f′（0）=0，limx→0f″(x)|x|＝1，则（　　）A. f（0）是f（x）的极大值B. f（0）是f（x）的极小值C. （0，f（0））是曲线y=f（x）的拐点D. f（0）不是f（x）的极值，（0，f（0））也不是曲线y=f（x）的拐点

考查要点：本题主要考查二阶导数在极值与拐点判断中的应用，以及极限的性质。

解题核心思路：

1. 极值判定：利用二阶导数的符号变化判断极值。若二阶导数在驻点附近保持同号，则可能为极值点。
2. 拐点判定：拐点要求凹凸性发生改变，即二阶导数的符号发生变化。

破题关键点：

• 由极限 $\lim_{x \to 0} \frac{f''(x)}{|x|} = 1$ 可知，$f''(x) \approx |x|$ 当 $x$ 接近 $0$ 时，因此 $f''(x) > 0$ 在 $x=0$ 附近成立。
• 结合二阶导数连续性，得出 $f''(0) = 0$，但 $f''(x)$ 在 $x=0$ 附近始终非负，故 $x=0$ 是极小值点。
• 由于 $f''(x)$ 符号未改变，$(0, f(0))$ 不是拐点。

极值判定

1. 驻点条件：$f'(0) = 0$，说明 $x=0$ 是驻点。
2. 二阶导数分析：
   • 由 $\lim_{x \to 0} \frac{f''(x)}{|x|} = 1$，得 $f''(x) \approx |x|$ 当 $x \to 0$ 时。
   • 因此，当 $x \neq 0$ 且靠近 $0$ 时，$f''(x) > 0$。
   • 结合二阶导数连续性，$f''(0) = 0$，但 $f''(x) \geq 0$ 在 $x=0$ 附近成立。
3. 极值结论：根据极值第二充分条件，$f(0)$ 是极小值。

拐点判定

1. 凹凸性分析：若二阶导数符号不变，则无拐点。
2. 结论：$f''(x) \geq 0$ 在 $x=0$ 附近始终成立，故 $(0, f(0))$ 不是拐点。