题目

15. (3.0分) 已知函数y=sqrt(6-x-x^2)+ln(x-1)，则函数y的定义域为____。

15. (3.0分) 已知函数$y=\sqrt{6-x-x^{2}}+\ln(x-1)$，则函数y的定义域为____。

题目解答

答案

函数 $ y = \sqrt{6 - x - x^2} + \ln(x - 1) $ 的定义域需要满足以下条件： 1. 平方根内非负：$ 6 - x - x^2 \geq 0 $，解得 $ -3 \leq x \leq 2 $； 2. 对数真数为正：$ x - 1 > 0 $，解得 $ x > 1 $。 取交集得：$ 1 < x \leq 2 $，即区间 $ (1, 2] $。 **答案：** $\boxed{(1, 2]}$

解析

考查要点：本题主要考查函数定义域的求解，涉及二次不等式和对数函数真数条件的应用，需要综合两个部分的定义域求交集。

解题思路：

  1. 平方根部分：被开方数必须非负，即解不等式 $6 - x - x^2 \geq 0$；
  2. 对数部分：真数必须大于0，即解不等式 $x - 1 > 0$；
  3. 取交集：将两个部分的解集合并，得到最终定义域。

关键点：

  • 二次不等式的解法：通过因式分解或求根公式确定解集范围；
  • 对数函数的定义域：真数严格大于0；
  • 交集运算：确保同时满足所有条件。

步骤1：解平方根部分的不等式

要求 $6 - x - x^2 \geq 0$，整理为：
$x^2 + x - 6 \leq 0$
解方程 $x^2 + x - 6 = 0$，得根：
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2} \implies x = 2 \text{ 或 } x = -3$
因二次函数开口向上，不等式 $x^2 + x - 6 \leq 0$ 的解集为：
$-3 \leq x \leq 2$

步骤2：解对数部分的不等式

要求 $x - 1 > 0$，解得：
$x > 1$

步骤3：求交集

平方根部分的解集为 $[-3, 2]$，对数部分的解集为 $(1, +\infty)$，两者的交集为：
$(1, 2]$