题目
Sigma为圆柱面x^2+y^2=a^2介于z=0与z=h之间的部分,则关于I=iint x^2ds说法错误的是().A. I=iint y^2dsB. I=(1)/(2)iint (x^2+y^2)dsC. I=(1)/(2)iint a^2dsD. I=(pi a^4h)/(2)
$\Sigma$为圆柱面$x^{2}+y^{2}=a^{2}$介于$z=0$与$z=h$之间的部分,则关于$I=\iint x^{2}ds$说法错误的是().
A. $I=\iint y^{2}ds$
B. $I=\frac{1}{2}\iint (x^{2}+y^{2})ds$
C. $I=\frac{1}{2}\iint a^{2}ds$
D. $I=\frac{\pi a^{4}h}{2}$
题目解答
答案
D. $I=\frac{\pi a^{4}h}{2}$
解析
步骤 1：参数化曲面
将曲面 $\Sigma$ 参数化为 $x = a \cos \theta$，$y = a \sin \theta$，$z = z$，其中 $0 \leq \theta \leq 2\pi$，$0 \leq z \leq h$。计算面积元素 $ds = a \, d\theta \, dz$。
步骤 2：计算曲面积分
计算曲面积分：\[ I = \iint\limits_{\Sigma} x^2 \, ds = \int_0^h \int_0^{2\pi} a^3 \cos^2 \theta \, d\theta \, dz = \pi a^3 h. \]
步骤 3：分析选项
- **A**：由对称性，$\iint\limits_{\Sigma} y^2 \, ds = I$，正确。
- **B**：$\iint\limits_{\Sigma} (x^2 + y^2) \, ds = 2\pi a^3 h$，故 $\frac{1}{2} \iint\limits_{\Sigma} (x^2 + y^2) \, ds = I$，正确。
- **C**：$\iint\limits_{\Sigma} a^2 \, ds = 2\pi a^3 h$，故 $\frac{1}{2} \iint\limits_{\Sigma} a^2 \, ds = I$，正确。
- **D**：$\frac{\pi a^4 h}{2} \neq \pi a^3 h$，错误。
将曲面 $\Sigma$ 参数化为 $x = a \cos \theta$，$y = a \sin \theta$，$z = z$，其中 $0 \leq \theta \leq 2\pi$，$0 \leq z \leq h$。计算面积元素 $ds = a \, d\theta \, dz$。
步骤 2：计算曲面积分
计算曲面积分：\[ I = \iint\limits_{\Sigma} x^2 \, ds = \int_0^h \int_0^{2\pi} a^3 \cos^2 \theta \, d\theta \, dz = \pi a^3 h. \]
步骤 3：分析选项
- **A**：由对称性，$\iint\limits_{\Sigma} y^2 \, ds = I$，正确。
- **B**：$\iint\limits_{\Sigma} (x^2 + y^2) \, ds = 2\pi a^3 h$，故 $\frac{1}{2} \iint\limits_{\Sigma} (x^2 + y^2) \, ds = I$，正确。
- **C**：$\iint\limits_{\Sigma} a^2 \, ds = 2\pi a^3 h$，故 $\frac{1}{2} \iint\limits_{\Sigma} a^2 \, ds = I$，正确。
- **D**：$\frac{\pi a^4 h}{2} \neq \pi a^3 h$，错误。