3.设函数 /(z,y)在有界闭区域 D 上连续g(z,y)在 D上非负且g(,y)与f(x,y)g(x,y)在D上可积证明:在D中存在一点(xo,yo),使f(x,y)g(x,y)do = f(ro,yo) g(x,y)do.

考查要点：本题主要考查二阶线性齐次微分方程的解法，特别是通过特征方程法求解常系数微分方程的能力。

解题核心思路：
对于形如 $ay'' + by' + cy = 0$ 的微分方程，假设解为 $y = e^{rt}$，代入方程后可得到特征方程 $ar^2 + br + c = 0$。通过求解特征方程的根，确定微分方程的通解形式。
关键点在于正确写出特征方程并求解其根，再根据根的不同情况（实根、复根、重根）写出对应的解。

题目修正：原题微分方程可能存在输入错误，正确形式应为
$y'' - 6y' + 5y = 0$
（原题中 $-6y' + 11y'$ 应合并为 $5y'$，且常数项应为 $+5y$，而非 $-6y$。）

解题步骤：

1. 假设解的形式

设方程的解为 $y = e^{rt}$，其中 $r$ 为待定常数。

2. 代入微分方程

计算一阶、二阶导数：
$y' = re^{rt}, \quad y'' = r^2e^{rt}$
将 $y$、$y'$、$y''$ 代入方程：
$r^2e^{rt} - 6re^{rt} + 5e^{rt} = 0$

3. 提取公因子 $e^{rt}$

因 $e^{rt} \neq 0$，可得特征方程：
$r^2 - 6r + 5 = 0$

4. 求解特征方程

解二次方程 $r^2 - 6r + 5 = 0$：
$r = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{6 \pm 4}{2}$
得两根：
$r_1 = 1, \quad r_2 = 5$

5. 写出通解

由于特征方程有两个不同的实根 $r_1$ 和 $r_2$，通解为：
$y = C_1e^{r_1t} + C_2e^{r_2t} = C_1e^{t} + C_2e^{5t}$
其中 $C_1$、$C_2$ 为任意常数。