(3) int dfrac (1)({(1+{x)^2)}^dfrac (3{2)}}dx;

考查要点：本题主要考查有理函数的积分，特别是利用三角替换法处理形如$\frac{1}{(1+x^2)^{3/2}}$的积分。

解题核心思路：
当被积函数中出现$(1+x^2)^{3/2}$时，可考虑用三角替换$x = \tan y$，将根式转化为三角函数形式，简化积分。替换后，利用三角恒等式$1+\tan^2 y = \sec^2 y$，将分母化简为$\sec^3 y$，从而将积分转化为关于$\cos y$的简单积分。

破题关键点：

1. 正确选择替换变量：令$x = \tan y$，使$1+x^2$转化为$\sec^2 y$。
2. 准确计算微分$dx$：由$x = \tan y$得$dx = \sec^2 y \, dy$。
3. 积分后反替换：将结果中的三角函数表达式转换回关于$x$的形式。

步骤1：变量替换

令$x = \tan y$，则$dx = \sec^2 y \, dy$。此时，
$1 + x^2 = 1 + \tan^2 y = \sec^2 y,$
因此，
$(1+x^2)^{3/2} = (\sec^2 y)^{3/2} = \sec^3 y.$

步骤2：积分化简

原积分变为：
$\begin{aligned}\int \frac{1}{(1+x^2)^{3/2}} dx &= \int \frac{\sec^2 y}{\sec^3 y} dy \\&= \int \cos y \, dy.\end{aligned}$

步骤3：积分计算

积分$\int \cos y \, dy$的结果为：
$\sin y + C.$

步骤4：反替换回$x$

由$x = \tan y$，构造直角三角形，其中：

• 对边为$x$，邻边为$1$，斜边为$\sqrt{1+x^2}$，
• 因此，$\sin y = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$。

最终结果为：
$\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} + C.$