题目
26.函数 omega =dfrac (1)(z) 把下列z平面上的曲线映射成w平面上怎样的曲线?-|||-(1) ^2+(y)^2=4;-|||-(2) y=x ;-|||-(3) x=1 ;-|||-(4) ((x-1))^2+(y)^2=1.
题目解答
答案
解析
步骤 1：将z平面上的曲线映射到w平面上的曲线
对于给定的函数 $\omega =\dfrac {1}{z}$，其中 $z=x+iy$，$w=u+iv$，我们首先需要将z平面上的曲线方程转换为w平面上的曲线方程。
步骤 2：将z平面上的曲线方程转换为w平面上的曲线方程
(1) 对于 ${x}^{2}+{y}^{2}=4$，我们有 $|z|^2=4$，即 $|z|=2$。由于 $\omega =\dfrac {1}{z}$，则 $|\omega|=\dfrac {1}{|z|}=\dfrac {1}{2}$，因此在w平面上，映射后的曲线为圆周 ${u}^{2}+{v}^{2}=\dfrac {1}{4}$。
(2) 对于 y=x，我们有 $z=x+ix$，则 $\omega =\dfrac {1}{z}=\dfrac {1}{x+ix}=\dfrac {x-ix}{x^2+x^2}=\dfrac {1}{2x}-i\dfrac {1}{2x}$，因此在w平面上，映射后的曲线为直线 v=-u。
(3) 对于 x=1，我们有 $z=1+iy$，则 $\omega =\dfrac {1}{z}=\dfrac {1}{1+iy}=\dfrac {1-iy}{1+y^2}$，因此在w平面上，映射后的曲线为圆周 ${(u-\dfrac {1}{2})}^{2}+{u}^{2}=\dfrac {1}{4}$。
(4) 对于 ${(x-1)}^{2}+{y}^{2}=1$，我们有 $|z-1|=1$，即 $|z-1|=1$。由于 $\omega =\dfrac {1}{z}$，则 $|\omega-\dfrac {1}{z}|=\dfrac {1}{|z-1|}=1$，因此在w平面上，映射后的曲线为直线 $u=\dfrac {1}{2}$。
对于给定的函数 $\omega =\dfrac {1}{z}$，其中 $z=x+iy$，$w=u+iv$，我们首先需要将z平面上的曲线方程转换为w平面上的曲线方程。
步骤 2：将z平面上的曲线方程转换为w平面上的曲线方程
(1) 对于 ${x}^{2}+{y}^{2}=4$，我们有 $|z|^2=4$，即 $|z|=2$。由于 $\omega =\dfrac {1}{z}$，则 $|\omega|=\dfrac {1}{|z|}=\dfrac {1}{2}$，因此在w平面上，映射后的曲线为圆周 ${u}^{2}+{v}^{2}=\dfrac {1}{4}$。
(2) 对于 y=x，我们有 $z=x+ix$，则 $\omega =\dfrac {1}{z}=\dfrac {1}{x+ix}=\dfrac {x-ix}{x^2+x^2}=\dfrac {1}{2x}-i\dfrac {1}{2x}$，因此在w平面上，映射后的曲线为直线 v=-u。
(3) 对于 x=1，我们有 $z=1+iy$，则 $\omega =\dfrac {1}{z}=\dfrac {1}{1+iy}=\dfrac {1-iy}{1+y^2}$，因此在w平面上，映射后的曲线为圆周 ${(u-\dfrac {1}{2})}^{2}+{u}^{2}=\dfrac {1}{4}$。
(4) 对于 ${(x-1)}^{2}+{y}^{2}=1$，我们有 $|z-1|=1$，即 $|z-1|=1$。由于 $\omega =\dfrac {1}{z}$，则 $|\omega-\dfrac {1}{z}|=\dfrac {1}{|z-1|}=1$，因此在w平面上，映射后的曲线为直线 $u=\dfrac {1}{2}$。