题目

设(x)=lim _(narrow infty )dfrac ({x)^2n-1+a(x)^2+bx}({x)^2n+1}-|||-+bx/，若(x)=lim _(narrow infty )dfrac ({x)^2n-1+a(x)^2+bx}({x)^2n+1}-|||-+bx/为(x)=lim _(narrow infty )dfrac ({x)^2n-1+a(x)^2+bx}({x)^2n+1}-|||-+bx/的跳跃间断点，则（）A.(x)=lim _(narrow infty )dfrac ({x)^2n-1+a(x)^2+bx}({x)^2n+1}-|||-+bx/B.(x)=lim _(narrow infty )dfrac ({x)^2n-1+a(x)^2+bx}({x)^2n+1}-|||-+bx/C.(x)=lim _(narrow infty )dfrac ({x)^2n-1+a(x)^2+bx}({x)^2n+1}-|||-+bx/D.(x)=lim _(narrow infty )dfrac ({x)^2n-1+a(x)^2+bx}({x)^2n+1}-|||-+bx/

设 $f(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{x^{2n-1}+ax^2+bx}{x^{2n}+1}$ ，若 $x=1,x=-1$ 为 $f\left(x\right)$ 的跳跃间断点，则（）

A. $a+b=1,a-b\ne-1$

B. $a+b=1,a-b=-1$

C. $a+b\ne1,a-b=-1$

D. $a+b\ne1,a-b\ne-1$

题目解答

答案

$x=1,x=-1$ 为 $f\left(x\right)$ 的跳跃间断点，则 $f\left(\left(-1\right)^-\right)\ne f\left(\left(-1\right)^+\right),f\left(1^-\right)=f\left(1^+\right)$ ，则 $f(\left(-1\right)^-)=\lim_{n\to\infty}\left[\lim_{x\rightarrow\left(-1\right)^-}\frac{x^{2n-1}+ax^2+bx}{x^{2n}+1}\right]$ $=\frac{-1+a-b}{2}$ ， $f(\left(-1\right)^+)=\lim_{n\to\infty}\left[\lim_{x\rightarrow\left(-1\right)^+}\frac{x^{2n-1}+ax^2+bx}{x^{2n}+1}\right]$ $=a-b$ ，则 $-\frac{1+a-b}{2}\ne a-b$ ，则 $a-b\ne-1$ ， $f(1^-)=\lim_{n\to\infty}\left[\lim_{x\rightarrow1^-}\frac{x^{2n-1}+ax^2+bx}{x^{2n}+1}\right]$ $=a+b$ ， $f(1^+)=\lim_{n\to\infty}\left[\lim_{x\rightarrow1^+}\frac{x^{2n-1}+ax^2+bx}{x^{2n}+1}\right]$ $=\frac{1+a+b}{2}$ ，则 $a+b\ne\frac{1+a+b}{2}$ ，则 $a+b\ne1$ ，因此选择D.

解析

步骤 1：计算$f(x)$在$x=1$处的极限
$f(1)=\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {{1}^{2n-1}+a{1}^{2}+b1}{{1}^{2n}+1}=\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {1+a+b}{2}=\dfrac {1+a+b}{2}$
步骤 2：计算$f(x)$在$x=-1$处的极限
$f(-1)=\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {{(-1)}^{2n-1}+a{(-1)}^{2}+b(-1)}{{(-1)}^{2n}+1}=\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {-1+a-b}{2}=\dfrac {-1+a-b}{2}$
步骤 3：根据跳跃间断点的定义，判断条件
由于$x=1$和$x=-1$为$f(x)$的跳跃间断点，所以$f(1^{-})=f(1^{+})$，$f(-1^{-})\neq f(-1^{+})$。因此，$f(1)=\dfrac {1+a+b}{2}$，$f(-1)=\dfrac {-1+a-b}{2}$。根据跳跃间断点的定义，$f(1^{-})=f(1^{+})$，$f(-1^{-})\neq f(-1^{+})$，所以$a+b\neq 1$，$a-b\neq -1$。