题目
设函数 (x,y)=1-dfrac (cos sqrt {{x)^2+(y)^2}}(tan ({x)^2+(y)^2)} ,则当定设函数 (x,y)=1-dfrac (cos sqrt {{x)^2+(y)^2}}(tan ({x)^2+(y)^2)} ,则当定设函数 (x,y)=1-dfrac (cos sqrt {{x)^2+(y)^2}}(tan ({x)^2+(y)^2)} ,则当定设函数 (x,y)=1-dfrac (cos sqrt {{x)^2+(y)^2}}(tan ({x)^2+(y)^2)} ,则当定设函数 (x,y)=1-dfrac (cos sqrt {{x)^2+(y)^2}}(tan ({x)^2+(y)^2)} ,则当定设函数 (x,y)=1-dfrac (cos sqrt {{x)^2+(y)^2}}(tan ({x)^2+(y)^2)} ,则当定
题目解答
答案
解析
步骤 1：转换坐标系
令 $x=r\cos \theta $, $y=r\sin \theta $, 则 $x^2+y^2=r^2$。这样，原函数可以表示为 $f(r,\theta )$。
步骤 2：代入函数表达式
原式 $f(x,y)=f(r,\theta )=\dfrac {1-\cos r}{\tan {r}^{2}}$。
步骤 3：求极限
当 $(x,y)\rightarrow (0,0)$ 时，即 $r\rightarrow 0$，求 $\lim _{r\rightarrow 0}\dfrac {1-\cos r}{\tan {r}^{2}}$。
步骤 4：应用等价无穷小
根据等价无穷小，当 $r\rightarrow 0$ 时，$1-\cos r=\dfrac {1}{2}{r}^{2}+o({r}^{2})$，$\tan r=r+o(r)$，则 $\tan {r}^{2}={r}^{2}+o({r}^{2})$。
步骤 5：计算极限值
则 $\lim _{r\rightarrow 0}\dfrac {1-\cos r}{\tan {r}^{2}}=\lim _{r\rightarrow 0}\dfrac {\dfrac {1}{2}{r}^{2}+o({r}^{2})}{{r}^{2}+o({r}^{2})}=\dfrac {1}{2}$。
步骤 6：判断连续性
由于 $\lim _{(x,y)\rightarrow (0,0)}f(x,y)=\dfrac {1}{2}$，所以当 $f(0,0)=\dfrac {1}{2}$ 时，$f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处连续。
令 $x=r\cos \theta $, $y=r\sin \theta $, 则 $x^2+y^2=r^2$。这样，原函数可以表示为 $f(r,\theta )$。
步骤 2：代入函数表达式
原式 $f(x,y)=f(r,\theta )=\dfrac {1-\cos r}{\tan {r}^{2}}$。
步骤 3：求极限
当 $(x,y)\rightarrow (0,0)$ 时，即 $r\rightarrow 0$，求 $\lim _{r\rightarrow 0}\dfrac {1-\cos r}{\tan {r}^{2}}$。
步骤 4：应用等价无穷小
根据等价无穷小，当 $r\rightarrow 0$ 时，$1-\cos r=\dfrac {1}{2}{r}^{2}+o({r}^{2})$，$\tan r=r+o(r)$，则 $\tan {r}^{2}={r}^{2}+o({r}^{2})$。
步骤 5：计算极限值
则 $\lim _{r\rightarrow 0}\dfrac {1-\cos r}{\tan {r}^{2}}=\lim _{r\rightarrow 0}\dfrac {\dfrac {1}{2}{r}^{2}+o({r}^{2})}{{r}^{2}+o({r}^{2})}=\dfrac {1}{2}$。
步骤 6：判断连续性
由于 $\lim _{(x,y)\rightarrow (0,0)}f(x,y)=\dfrac {1}{2}$，所以当 $f(0,0)=\dfrac {1}{2}$ 时，$f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处连续。