题目

[变式3]★★★求lim_(xtoinfty)[cos ln(1+x)-cos ln x].

[变式3]★★★求$\lim_{x\to\infty}[\cos ln(1+x)-\cos ln x].$

题目解答

答案

令 $A = \ln(1+x)$，$B = \ln x$，则当 $x \to \infty$ 时，$A, B \to \infty$，且 $A - B = \ln\left(\frac{1+x}{x}\right) \to 0$。
利用余弦的和差化积公式：
$\cos A - \cos B = -2 \sin\left(\frac{A+B}{2}\right) \sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$
其中，$\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)$ 有界，$\sin\left(\frac{A-B}{2}\right) \to \sin 0 = 0$，故原式极限为 $0$。
或者，由拉格朗日中值定理，存在 $\xi_x \in (x, x+1)$，使得：
$\cos \ln(1+x) - \cos \ln x = -\frac{\sin \ln \xi_x}{\xi_x} \to 0 \quad (x \to \infty)$
答案： $\boxed{0}$

解析

考查要点：本题主要考查极限的计算，涉及对数函数与三角函数的复合函数极限，以及和差化积公式或中值定理的应用。

解题核心思路：

  1. 分析变量关系：当$x \to \infty$时，$\ln(1+x)$与$\ln x$的差趋近于$0$，即$\ln\left(1+\frac{1}{x}\right) \approx \frac{1}{x}$。
  2. 利用三角恒等式：将余弦差转化为正弦函数的乘积形式，结合有界量与无穷小量的乘积性质判断极限。
  3. 替代方法：通过拉格朗日中值定理，将差值表示为导数与增量的乘积，分析其极限。

破题关键点：

  • 识别差值的无穷小量性质：$\ln(1+x) - \ln x \to 0$，从而$\cos A - \cos B$中的$\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$趋近于$0$。
  • 有界量与无穷小量的乘积：$\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)$有界，$\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$为无穷小量，整体乘积趋于$0$。

步骤1：变量替换与差值分析
令$A = \ln(1+x)$，$B = \ln x$，则当$x \to \infty$时，$A, B \to \infty$，且：
$A - B = \ln\left(\frac{1+x}{x}\right) = \ln\left(1+\frac{1}{x}\right) \to 0.$

步骤2：应用和差化积公式
利用余弦差公式：
$\cos A - \cos B = -2 \sin\left(\frac{A+B}{2}\right) \sin\left(\frac{A-B}{2}\right).$

步骤3：分析各因子的极限

  • $\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)$：由于$A+B = \ln(1+x) + \ln x = \ln[x(1+x)]$，当$x \to \infty$时，$\frac{A+B}{2} \to \infty$，但$\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)$在$[-1,1]$内有界。
  • $\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$：由$A-B \to 0$，当$x \to \infty$时，$\sin\left(\frac{A-B}{2}\right) \approx \frac{A-B}{2} \to 0$。

步骤4：结合乘积性质
原式可表示为：
$-2 \cdot \underbrace{\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)}_{\text{有界}} \cdot \underbrace{\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)}_{\to 0} \to 0.$

替代方法：拉格朗日中值定理
存在$\xi_x \in (x, x+1)$，使得：
$\cos \ln(1+x) - \cos \ln x = -\sin(\ln \xi_x) \cdot \ln\left(1+\frac{1}{x}\right).$
由于$\ln\left(1+\frac{1}{x}\right) \approx \frac{1}{x}$且$\sin(\ln \xi_x)$有界，故整体趋于$0$。