题目

2、已知随机变量X的概率分布为P(X=k)=(A)/(2^k)，k=1,2,···，则A=____.

2、已知随机变量X的概率分布为$P(X=k)=\frac{A}{2^{k}}$，k=1,2,···，则A=____.

题目解答

答案

根据概率分布的性质，所有概率之和为1。已知 $P(X=k) = \frac{A}{2^k}$（$k=1,2,\cdots$），则 \[ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{A}{2^k} = A \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2^k} = 1 \] 等比级数 $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2^k}$ 的和为 \[ \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = 1 \] 因此，$A \cdot 1 = 1$，解得 $A = 1$。 **答案：** $\boxed{1}$

解析

考查要点：本题主要考查概率分布的基本性质以及无穷等比级数的求和方法。

解题核心思路：
根据概率分布的性质，所有可能取值的概率之和必须等于1。题目中给出的概率表达式为$P(X=k) = \frac{A}{2^k}$，因此需要将所有$k$对应的概率相加并等于1，从而解出未知常数$A$。

破题关键点：

  1. 概率和为1：$\sum_{k=1}^{\infty} P(X=k) = 1$。
  2. 等比级数求和：将级数$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2^k}$转化为等比数列求和公式，计算其和。

根据概率分布的性质，所有概率之和为1，即：
$\sum_{k=1}^{\infty} P(X=k) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{A}{2^k} = 1.$

将级数提取常数$A$，得到：
$A \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2^k} = 1.$

计算等比级数的和：
该级数是首项$a = \frac{1}{2}$、公比$r = \frac{1}{2}$的无穷等比数列，其和为：
$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2^k} = \frac{a}{1 - r} = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = 1.$

代入原方程得：
$A \cdot 1 = 1 \quad \Rightarrow \quad A = 1.$