29. (2.0分) lim_(xto0)(int_(x)^0cos t^2dt)/(ln(1+x))= ( )A. 1B. 0C. -1D. 2

本题考查知识点为洛必达法则以及变上限积分求导法则。解题思路是先判断极限类型，若为$\frac{0}{0}$)型或$\frac{\infty}{\infty}$型，则可使用洛必必达法则对分子分母分别求导后再求极限。

1. 判断极限类型：
   当$x\to0$时，分子$\int_{xx}^{0}\cos t^{2}dt$，令$F(x)=\int_{x}^{0}\cos t^{2}dt=-\int_{0}^{x}\cos t^{2}dt$，则$F(0)=-\int_{0}^{0}\cos t^{2}dt = 0$；分母$\ln(1 + x)$，$\ln(1+0)=0$，所以该极限为$\frac{0}{0}$型。
2. 使用洛必达法则：
   根据洛必达法则，若$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}$为$\frac{0}{0}$型或$\frac{\infty}{\infty}$型，则$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}$。
   • 对分子$F(x)=-\int_{0}^{x}\cos t^{2}dt}$求导，根据变上限积分求导法则$(\int_{a}^{x}f(t)dt)^\prime=f(x)$，可得$F^\prime(x)=-\cos x^{2}$。
   • 对分母$y = \ln(1 + x)$求导，根据求导公式$(\ln(1 + x))^\prime=\frac{1}{1 + x}$。
3. 计算求导后的极限：
   $\lim_{x\to0}\frac{\int_{x}^{0}\cos t^{2}dt}{\ln(1 + x)}=\lim_{x\to0}\frac{-\cos x^{2}}{\frac{1}{1 + x}}}$
   将$x = 0$代入$\frac{-\cos x^{2}}{\frac{1 + x}}$可得：$\frac{-\cos0}{1+0}=\frac{-1}{1}=-1$。