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数学
题目

以下关于行列式的性质,叙述错误的是A. 若行列式中有两行相等,则此行列式的值为零B. 任何一个行列式都与它的转置行列式相等C. 互换行列式任意两行,行列式仅仅改变符号D. 互换行列式的第一行和第三行,行列式的值不变

以下关于行列式的性质,叙述错误的是

A. 若行列式中有两行相等,则此行列式的值为零

B. 任何一个行列式都与它的转置行列式相等

C. 互换行列式任意两行,行列式仅仅改变符号

D. 互换行列式的第一行和第三行,行列式的值不变

题目解答

答案

D. 互换行列式的第一行和第三行,行列式的值不变

解析

本题考查行列式的基本性质,解题思路是根据行列式的各个性质逐一分析每个选项。

  • 选项A:
    根据行列式的性质,若行列式中有两行相等,则此行列式的值为零。这是行列式的一个重要性质,可以通过行列式的定义或者行列式的展开定理来证明。例如,对于二阶行列式$\begin{vmatrix}a&b\\a&b\end{vmatrix}$,根据二阶行列式的计算公式$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad - bc$,可得$\begin{vmatrix}a&b\\a&b\end{vmatrix}=ab - ab = 0$。所以选项A的叙述是正确的。
  • 选项B:
    任何一个行列式都与它的转置行列式相等,这也是行列式的一个基本性质。设$A=(a_{ij})$是一个$n$阶行列式,它的转置行列式$A^T=(a_{ji})$。可以通过行列式的定义证明$\vert A\vert=\vert A^T\vert$。所以选项B的叙述是正确的。
  • 选项C:
    互换行列式任意两行,行列式仅仅改变符号。这同样是行列式的重要性质之一。例如,对于二阶行列式$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad - bc$,互换第一行和第二行后得到$\begin{vmatrix}c&d\\a&b\end{vmatrix}=cb - da=-(ad - bc)$,行列式的值变为原来的相反数。所以选项C的叙述是正确的。
  • 选项D:
    互换行列式的第一行和第三行,这属于互换行列式的任意两行,根据选项C的性质,行列式的值应该变为原来的相反数,而不是不变。所以选项D的叙述是错误的。

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