设三阶矩阵 A=⎡⎣⎢abbbabbba⎤⎦⎥, 若 A 的伴随矩阵的秩为 1, 则必有 () A. a=b 或 a+2b=0 B. a=b 或 a+2b≠0 C. a≠b 且 a+2b=0 D. a≠b 且 a+2b≠0

考查要点：本题主要考查矩阵的秩、伴随矩阵的性质以及行列式的计算。
解题核心思路：

1. 利用伴随矩阵秩与原矩阵秩的关系：若矩阵$A$的伴随矩阵$A^*$的秩为1，则原矩阵$A$的秩必为2（因为当$A$的秩为$n-1$时，其伴随矩阵的秩为1）。
2. 行列式为0的条件：由$A$的秩为2可知$|A|=0$，需计算行列式并分析其零点。
3. 排除矛盾条件：验证行列式为0时的参数取值是否满足$A$的秩为2，排除导致秩不足的情况。

步骤1：确定原矩阵的秩

根据伴随矩阵秩与原矩阵秩的关系，若$A^*$的秩为1，则$A$的秩为$3-1=2$。

步骤2：计算行列式$|A|$

矩阵$A$为：
$A = \begin{bmatrix}a & b & b \\b & a & b \\b & b & a\end{bmatrix}$
通过行列式展开或观察对称性，可得：
$|A| = (a+2b)(a-b)^2$
令$|A|=0$，得两种情况：

1. $a+2b=0$
2. $a=b$

步骤3：验证秩的条件

• 当$a=b$时：矩阵$A$变为全$a$矩阵，所有行成比例，秩为1，与$A$的秩应为2矛盾，故$a=b$不成立。
• 当$a+2b=0$时：此时$a=-2b$，代入矩阵$A$后，可验证其秩为2（存在两个线性无关的行或列）。

结论：必有$a \neq b$且$a+2b=0$。