题目
(2)(2007204)二元函数f(x,y)在点(0,0)处可微的一个充分条件是-|||-__-|||-A. lim _((x,y)arrow (0,0))[ f(x,y)-f(0,0)] =0-|||-B. lim _(xarrow 0)dfrac (f(x,0)-f(0,0))(x)=0, 且 lim _(xarrow 0)dfrac (f(0,y)-f(0,0))(y)=0-|||-C. lim _((x,y)arrow (0,0))dfrac (f(x,y)-f(0,0))(sqrt {{x)^2+(y)^2}}=0-|||-D. lim _(xarrow 0)[ (f)_(x)(x,0)-(f)_(x)(0,0)] =0, 且 lim _(yarrow 0)[ (f)_(y)(0,y)-(f)_(y)(0,0)] =0
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解可微的定义
二元函数$f(x,y)$在点$(0,0)$处可微，意味着存在一个线性函数$A(x,y)$，使得$f(x,y)-f(0,0)=A(x,y)+o(\sqrt{x^2+y^2})$，其中$o(\sqrt{x^2+y^2})$表示当$(x,y)\rightarrow(0,0)$时，$o(\sqrt{x^2+y^2})/\sqrt{x^2+y^2}\rightarrow0$。
步骤 2：分析选项
A. $\lim _{(x,y)\rightarrow (0,0)}[ f(x,y)-f(0,0)] =0$，这仅说明$f(x,y)$在$(0,0)$处连续，但不能保证可微。
B. $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x,0)-f(0,0)}{x}=0$，且 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(0,y)-f(0,0)}{y}=0$，这说明$f(x,y)$在$(0,0)$处沿$x$轴和$y$轴方向的偏导数存在，但不能保证可微。
C. $\lim _{(x,y)\rightarrow (0,0)}\dfrac {f(x,y)-f(0,0)}{\sqrt {{x}^{2}+{y}^{2}}}=0$，这说明$f(x,y)$在$(0,0)$处的增量与距离的比值趋于0，符合可微的定义。
D. $\lim _{x\rightarrow 0}[ {f}_{x}(x,0)-{f}_{x}(0,0)] =0$，且 $\lim _{y\rightarrow 0}[ {f}_{y}(0,y)-{f}_{y}(0,0)] =0$，这说明$f(x,y)$在$(0,0)$处的偏导数连续，但不能保证可微。
步骤 3：选择正确答案
根据可微的定义，选项C是二元函数$f(x,y)$在点$(0,0)$处可微的一个充分条件。
二元函数$f(x,y)$在点$(0,0)$处可微，意味着存在一个线性函数$A(x,y)$，使得$f(x,y)-f(0,0)=A(x,y)+o(\sqrt{x^2+y^2})$，其中$o(\sqrt{x^2+y^2})$表示当$(x,y)\rightarrow(0,0)$时，$o(\sqrt{x^2+y^2})/\sqrt{x^2+y^2}\rightarrow0$。
步骤 2：分析选项
A. $\lim _{(x,y)\rightarrow (0,0)}[ f(x,y)-f(0,0)] =0$，这仅说明$f(x,y)$在$(0,0)$处连续，但不能保证可微。
B. $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x,0)-f(0,0)}{x}=0$，且 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(0,y)-f(0,0)}{y}=0$，这说明$f(x,y)$在$(0,0)$处沿$x$轴和$y$轴方向的偏导数存在，但不能保证可微。
C. $\lim _{(x,y)\rightarrow (0,0)}\dfrac {f(x,y)-f(0,0)}{\sqrt {{x}^{2}+{y}^{2}}}=0$，这说明$f(x,y)$在$(0,0)$处的增量与距离的比值趋于0，符合可微的定义。
D. $\lim _{x\rightarrow 0}[ {f}_{x}(x,0)-{f}_{x}(0,0)] =0$，且 $\lim _{y\rightarrow 0}[ {f}_{y}(0,y)-{f}_{y}(0,0)] =0$，这说明$f(x,y)$在$(0,0)$处的偏导数连续，但不能保证可微。
步骤 3：选择正确答案
根据可微的定义，选项C是二元函数$f(x,y)$在点$(0,0)$处可微的一个充分条件。