1.(填空题，6.6分) A=(}2&2&-22&-1&4-2&4&-1) 设矩阵则矩阵A的特征值为3、-6和____.

本题考查矩阵特征值的性质。解题思路是利用矩阵特征值的两个重要性质来求解未知特征值，这两个性质分别是：矩阵的所有特征值之和等于矩阵的迹（即矩阵主对角线元素之和）；矩阵的所有特征值之积等于矩阵的行列式。

方法一：利用特征值之和等于矩阵的迹

矩阵$A=\begin{pmatrix}2&2& - 2\\2& - 1&4\\ - 2&4& - 1\end{pmatrix}$，矩阵的迹$tr(A)$为矩阵主对角线元素之和，根据公式$tr(A)=\sum_{i = 1}^{n}a_{ii}$（其中$a_{ii}$是矩阵$A$主对角线上的元素，$n$是矩阵的阶数），可得：
$tr(A)=2+( - 1)+( - 1)=0$
设矩阵$A$的三个特征值分别为$\lambda_1 = 3$，$\lambda_2 = - 6$，$\lambda_3$。
根据特征值之和等于矩阵的迹这一性质，即$\sum_{i = 1}^{n}\lambda_i=tr(A)$，可得：
$\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=tr(A)$
将$\lambda_1 = 3$，$\lambda_2 = - 6$，$tr(A)=0$代入上式可得：
$3+( - 6)+\lambda_3=0$
$-3+\lambda_3=0$
移项可得$\lambda_3 = 3$。

方法二：利用特征值之积等于矩阵的行列式

先计算矩阵$A$的行列式$\vert A\vert$，根据三阶行列式的计算公式$\vert A\vert=a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+a_{13}A_{13}$（其中$a_{ij}$是矩阵$A$的元素，$A_{ij}$是$a_{ij}$的代数余子式），可得：
$\begin{align*}\vert A\vert&=2\times\begin{vmatrix}-1&4\\4& - 1\end{vmatrix}-2\times\begin{vmatrix}2&4\\ - 2& - 1\end{vmatrix}+( - 2)\times\begin{vmatrix}2& - 1\\ - 2&4\end{vmatrix}\\&=2\times(( - 1)\times( - 1)-4\times4)-2\times(2\times( - 1)-4\times( - 2))-2\times(2\times4-( - 1)\times( - 2))\\&=2\times(1 - 16)-2\times( - 2 + 8)-2\times(8 - 2)\\&=2\times( - 15)-2\times6-2\times6\\&=-30 - 12 - 12\\&=-54\end{align*}$
根据特征值之积等于矩阵的行列式这一性质，即$\prod_{i = 1}^{n}\lambda_i=\vert A\vert$，可得：
$\lambda_1\times\lambda_2\times\lambda_3=\vert A\vert$
将$\lambda_1 = 3$，$\lambda_2 = - 6$，$\vert A\vert=-54$代入上式可得：
$3\times( - 6)\times\lambda_3=-54$
$-18\times\lambda_3=-54$
两边同时除以$-18$可得$\lambda_3 = 3$。