1.10 =x(e)^-a(x^2) 是算符 (dfrac ({d)^2}(d{x)^2}-4(a)^2(x)^2) 的本征函数,求其本征值。

步骤 1：计算一阶导数
对函数 $y=x{e}^{-ax}$ 求一阶导数，得到 $y' = e^{-ax} - ax{e}^{-ax}$。
步骤 2：计算二阶导数
对一阶导数 $y'$ 求导，得到 $y'' = -2ae^{-ax} + a^2x{e}^{-ax}$。
步骤 3：代入算符
将 $y''$ 和 $4a^2x^2y$ 代入算符 $(\dfrac {{d}^{2}}{d{x}^{2}}-4{a}^{2}{x}^{2})$，得到 $(\dfrac {{d}^{2}}{d{x}^{2}}-4{a}^{2}{x}^{2})y = (-2ae^{-ax} + a^2x{e}^{-ax}) - 4a^2x^2(x{e}^{-ax})$。
步骤 4：化简
化简上式，得到 $(\dfrac {{d}^{2}}{d{x}^{2}}-4{a}^{2}{x}^{2})y = (-2ae^{-ax} + a^2x{e}^{-ax}) - 4a^2x^3{e}^{-ax}$。
步骤 5：提取公因子
提取公因子 $e^{-ax}$，得到 $(\dfrac {{d}^{2}}{d{x}^{2}}-4{a}^{2}{x}^{2})y = e^{-ax}(-2a + a^2x - 4a^2x^3)$。
步骤 6：确定本征值
由于 $y=x{e}^{-ax}$ 是算符 $(\dfrac {{d}^{2}}{d{x}^{2}}-4{a}^{2}{x}^{2})$ 的本征函数，所以 $(\dfrac {{d}^{2}}{d{x}^{2}}-4{a}^{2}{x}^{2})y = \lambda y$，其中 $\lambda$ 是本征值。比较上式和 $y=x{e}^{-ax}$，得到 $\lambda = -2a$。