1.计算下列极限:-|||-(1) lim _(xarrow +infty )x(sqrt (1+{x)^2}-x)

考查要点：本题主要考查无穷大极限的计算，特别是处理含有根号表达式的极限问题。关键在于通过有理化或变量替换简化表达式，消除不定型，从而求出极限值。

解题思路：
当$x \rightarrow +\infty$时，$\sqrt{1+x^2}$近似为$x$，但直接相减会导致“$\infty - \infty$”型不定式。此时需通过分子有理化或变量代换将表达式转化为可处理的形式，再结合等价无穷小替换或分式化简求解。

破题关键：

• 有理化：将$\sqrt{1+x^2} - x$乘以共轭$\sqrt{1+x^2} + x$，消去根号，化简表达式。
• 变量代换：令$t = \frac{1}{x}$，将极限转化为关于$t \rightarrow 0$的形式，利用泰勒展开或等价无穷小简化计算。

步骤1：分子有理化
原式为：
$\lim _{x\rightarrow +\infty }x\left(\sqrt {1+x^{2}}-x\right)$
将$\sqrt{1+x^2} - x$有理化：
$\begin{aligned}x\left(\sqrt{1+x^2} - x\right) &= x \cdot \frac{(\sqrt{1+x^2} - x)(\sqrt{1+x^2} + x)}{\sqrt{1+x^2} + x} \\&= x \cdot \frac{(1+x^2) - x^2}{\sqrt{1+x^2} + x} \\&= \frac{x}{\sqrt{1+x^2} + x}\end{aligned}$

步骤2：化简分式
分子分母同除以$x$：
$\frac{x}{\sqrt{1+x^2} + x} = \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}} + 1}$

步骤3：取极限
当$x \rightarrow +\infty$时，$\frac{1}{x^2} \rightarrow 0$，因此：
$\sqrt{1+\frac{1}{x^2}} \rightarrow \sqrt{1+0} = 1$
代入得：
$\lim _{x\rightarrow +\infty } \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$