(4)摆线 =a(t-sin t) =a(1-cos t) 的一拱, =0, 绕直线 =2a.

步骤 1：确定旋转体的体积计算方法
摆线 $x=a(t-\sin t)$, $y=a(1-\cos t)$ 的一拱绕直线 $y=2a$ 旋转形成的立体体积，可以看作由曲线 $y=2a$, $y=0$, $x=0$, $x=2\pi a$ 所围成的图形绕直线 $y=2a$ 旋转所得的圆柱体减去由摆线 $y=2a$, $x=0$, $x=2\pi a$ 所围成的立体。

步骤 2：计算圆柱体的体积
圆柱体的底面半径为 $2a$，高为 $2\pi a$，因此圆柱体的体积为 $V_{\text{圆柱}} = \pi (2a)^2 (2\pi a) = 8\pi^2 a^3$。

步骤 3：计算摆线绕直线 $y=2a$ 旋转形成的立体体积
摆线绕直线 $y=2a$ 旋转形成的立体体积可以通过积分计算，积分表达式为 $V_{\text{摆线}} = \int_{0}^{2\pi} \pi [2a - a(1-\cos t)]^2 a(1-\cos t) dt$。

步骤 4：化简积分表达式
$V_{\text{摆线}} = \pi a^3 \int_{0}^{2\pi} (1 + \cos t - \cos^2 t - \cos^3 t) dt$。

步骤 5：计算积分
$V_{\text{摆线}} = \pi a^3 \int_{0}^{2\pi} (1 + \cos t - \cos^2 t - \cos^3 t) dt = \pi a^3 \int_{0}^{2\pi} (1 + \cos t - \frac{1}{2}(1 + \cos 2t) - \cos t(1 - \sin^2 t)) dt$。
$V_{\text{摆线}} = \pi a^3 \int_{0}^{2\pi} (1 + \cos t - \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos 2t - \cos t + \cos t \sin^2 t) dt$。
$V_{\text{摆线}} = \pi a^3 \int_{0}^{2\pi} (\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos 2t + \cos t \sin^2 t) dt$。
$V_{\text{摆线}} = \pi a^3 \int_{0}^{2\pi} (\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos 2t) dt$。
$V_{\text{摆线}} = \pi a^3 \left[ \frac{1}{2}t - \frac{1}{4}\sin 2t \right]_{0}^{2\pi} = \pi a^3 \left[ \pi - 0 \right] = \pi^2 a^3$。

步骤 6：计算最终体积
$V = V_{\text{圆柱}} - V_{\text{摆线}} = 8\pi^2 a^3 - \pi^2 a^3 = 7\pi^2 a^3$。