题目
15.（7.0分）设f(u)的导数连续，则int_(L)f(x^2+y^2)(xdx+ydy)在全平面内与路径无关.（）A. 对B. 错
15.（7.0分）设f(u)的导数连续，则$\int_{L}f(x^{2}+y^{2})(xdx+ydy)$在全平面内与路径无关.
（）
A. 对
B. 错
题目解答
答案
A. 对
解析
步骤 1：引入变量
设 $u = x^2 + y^2$，则 $du = 2x \, dx + 2y \, dy$，从而 $x \, dx + y \, dy = \frac{1}{2} du$。
步骤 2：代入原积分
代入原积分得：\[ \int_{L} f(x^2 + y^2) (x \, dx + y \, dy) = \frac{1}{2} \int_{L} f(u) \, du. \]
步骤 3：分析积分与路径的关系
由于 $f(u)$ 导数连续，其原函数存在，积分值仅取决于 $u$ 的变化，与路径无关。或者，由格林定理，设 $P = f(u)x$，$Q = f(u)y$，则：\[ \frac{\partial Q}{\partial x} = 2xy f'(u), \quad \frac{\partial P}{\partial y} = 2xy f'(u) \quad \Rightarrow \quad \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 0. \] 故积分与路径无关。
设 $u = x^2 + y^2$，则 $du = 2x \, dx + 2y \, dy$，从而 $x \, dx + y \, dy = \frac{1}{2} du$。
步骤 2：代入原积分
代入原积分得：\[ \int_{L} f(x^2 + y^2) (x \, dx + y \, dy) = \frac{1}{2} \int_{L} f(u) \, du. \]
步骤 3：分析积分与路径的关系
由于 $f(u)$ 导数连续，其原函数存在，积分值仅取决于 $u$ 的变化，与路径无关。或者，由格林定理，设 $P = f(u)x$，$Q = f(u)y$，则：\[ \frac{\partial Q}{\partial x} = 2xy f'(u), \quad \frac{\partial P}{\partial y} = 2xy f'(u) \quad \Rightarrow \quad \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 0. \] 故积分与路径无关。