题目
19.（判断题，5.0分）设随机变量X服从[-1,2]上的均匀分布，且Y=}1,x>00,x=0-1,x<0，则E(Y)=int_(0)^21times(1)/(3)dx+int_(-1)^0(-1)times(1)/(3)dx=(1)/(3).A 对B 错
19.（判断题，5.0分）
设随机变量X服从[-1,2]上的均匀分布，且$Y=\begin{cases}1,x>0\\0,x=0\\-1,x<0\end{cases}$，则
$E(Y)=\int_{0}^{2}1\times\frac{1}{3}dx+\int_{-1}^{0}(-1)\times\frac{1}{3}dx=\frac{1}{3}.$
A 对
B 错
题目解答
答案
随机变量 $X$ 在 $[-1, 2]$ 上服从均匀分布，其概率密度函数为 $f(x) = \frac{1}{3}$。根据 $Y$ 的定义：
\[ Y = \begin{cases}
1 & X > 0, \\
0 & X = 0, \\
-1 & X < 0.
\end{cases} \]
由于 $X$ 是连续变量，$P(X = 0) = 0$，故可忽略 $X = 0$ 的情况。计算期望值：
\[ E(Y) = 1 \cdot P(X > 0) + (-1) \cdot P(X < 0). \]
其中，
\[ P(X > 0) = \int_{0}^{2} \frac{1}{3} \, dx = \frac{2}{3}, \]
\[ P(X < 0) = \int_{-1}^{0} \frac{1}{3} \, dx = \frac{1}{3}. \]
因此，
\[ E(Y) = 1 \cdot \frac{2}{3} + (-1) \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3}. \]
与题目中给出的表达式一致，答案为：
\[
\boxed{A}
\]
解析
步骤 1：确定随机变量X的概率密度函数
随机变量 $X$ 在 $[-1, 2]$ 上服从均匀分布，其概率密度函数为 $f(x) = \frac{1}{3}$，因为区间长度为 $3$，所以概率密度函数为 $\frac{1}{3}$。
步骤 2：根据Y的定义，计算期望值
根据 $Y$ 的定义： \[ Y = \begin{cases} 1 & X > 0, \\ 0 & X = 0, \\ -1 & X < 0. \end{cases} \] 由于 $X$ 是连续变量，$P(X = 0) = 0$，故可忽略 $X = 0$ 的情况。计算期望值： \[ E(Y) = 1 \cdot P(X > 0) + (-1) \cdot P(X < 0). \]
步骤 3：计算概率 $P(X > 0)$ 和 $P(X < 0)$
其中， \[ P(X > 0) = \int_{0}^{2} \frac{1}{3} \, dx = \frac{2}{3}, \] \[ P(X < 0) = \int_{-1}^{0} \frac{1}{3} \, dx = \frac{1}{3}. \]
步骤 4：计算期望值 $E(Y)$
因此， \[ E(Y) = 1 \cdot \frac{2}{3} + (-1) \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3}. \]
随机变量 $X$ 在 $[-1, 2]$ 上服从均匀分布，其概率密度函数为 $f(x) = \frac{1}{3}$，因为区间长度为 $3$，所以概率密度函数为 $\frac{1}{3}$。
步骤 2：根据Y的定义，计算期望值
根据 $Y$ 的定义： \[ Y = \begin{cases} 1 & X > 0, \\ 0 & X = 0, \\ -1 & X < 0. \end{cases} \] 由于 $X$ 是连续变量，$P(X = 0) = 0$，故可忽略 $X = 0$ 的情况。计算期望值： \[ E(Y) = 1 \cdot P(X > 0) + (-1) \cdot P(X < 0). \]
步骤 3：计算概率 $P(X > 0)$ 和 $P(X < 0)$
其中， \[ P(X > 0) = \int_{0}^{2} \frac{1}{3} \, dx = \frac{2}{3}, \] \[ P(X < 0) = \int_{-1}^{0} \frac{1}{3} \, dx = \frac{1}{3}. \]
步骤 4：计算期望值 $E(Y)$
因此， \[ E(Y) = 1 \cdot \frac{2}{3} + (-1) \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3}. \]