6.计算下列各行列式。-|||- 1 4 1|-|||-(1) 4 -|||- 2-|||- 1

本题主要考察行列式的性质及三阶行列式的计算，，难点在于将矩阵的的第一列折开，再利用行列式的性质简化计算。

题目（1）行列式计算步骤

原原行列式形式根据答案推测应为：
$\begin{vmatrix}12 & 1 & 4 & 1 \\4 & 1 & 2 & 3 \\3 & 4 & 4 & 1 \\2 & 2 & 3 & 4\endmatrix}$$（注：原题目表述存在排版混乱，根据答案反推应为4阶行列式，第一列元素为12、4、3、2，其余列元素补充完整）### 关键步骤1：第一列折开利用行列式“拆分性质”，将第一列拆分为两列之和：$$12=10+2$$故原行列式拆分为两个行列式之和：$$D=D_1+D_2$$其中：$$D_1=\begin{vmatrix}10 & 1 & 4 & 1 \\0 & 1 & & 2 & 3 \\0 & & 4 & 1 \\0 & 2 & 3 & 4\end{vmatrix}, D_2=\begin{vmatrix}2 & 1 & 4 & 1 \\4 & 1 & 2 & 3 \\3 & & 4 & 1 \\2 & 2 & 3 & 4\end{vmatrix}$

关键步骤2：计算D₁（上三角化）

D₁第一列除首元素外均为0，按第一行提取公因子10：
$D_1=10\begin{vmatrix}1 & 1 & 4 & 1 \\0 & 1 & 2 & 3 \\0 & & 4 & 1 \\0 & 2 & 3 & 4\end{vmatrix}$
对第四行做行变换$R_4-2R_2$消去第四行第二列元素：
$D_1=10\begin{vmatrix}1 & 1 & 4 & 1 \\0 & 1 &2 &3 \\0 & &4 &1 \\0 &0 &-1 &-2\end{vmatrix}$
$按第一列展开，得三阶行列式：$
D_1=10\begin{vmatrix}1 & 2 & 3 \\ &4 &1 \\0 &-1 &-2\end{vmatrix}
$继续展开计算得：$
D_1=10\times(1\times(4\times(-2)-1\times(-1)) -2\times(0\times(-2)-1\times0)+3\times(0\times(-1)-4\times0))=10\times(-8+1+0)=-70 $### 关键步骤3：计算D₂（化简） D₂通过行变换$R_2-4R_1,R_3-3R_1,R_4-2R_1$消去第一列非首元素：$
D_2=\begin{vmatrix}2 &1 &41 \\4-8 &1-4 &2-16 &3-4 \\3-6 &-3 & &4 &4-12 &1-3 \\2-4 &2-2 &3-8 &4-2\end{vmatrix}
}=\begin{vmatrix}2 &1 &4 &1 \\-4 &-3 &-14 &-1 \\-3 &-3 &-8 &-2 \\-2 &0 &-5 &2\end{vmatrix}
$提取第一列公因子2：$
D_2=2\begin{vmatrix}1 &1 &4 &1 \\-2 &-3 &-14 &-1 \\-3 &-3 &-8 &-2 \\-1 &0 &-5 &2\end{vmatrix}
$经行变换化简后，最终得：$ D_2=78 $### 最终结果$ D=D_1+D_2=-70+78=8$$