【5.18】若可逆线性变换x=Py可将二次型f(x_(1),x_(2))=x_(1)^2+2x_(2)^2+2x_(1)x_(2)化为规范形y_(1)^2+y_(2)^2，同时将二次型g(x_(1),x_(2))=-x_(1)^2+2x_(2)^2+2x_(1)x_(2)化为标准形k_(1)y_(1)^2+k_(2)y_(2)^2，求可逆矩阵P及k_(1),k_(2)的值.

二次型 $ f(x_1, x_2) = x_1^2 + 2x_2^2 + 2x_1x_2 $ 的矩阵 $ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} $。 通过 Cholesky 分解，得 $ A = C^T C $，其中 $ C = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $。 取 $ P = C^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $，则 $ P^T A P = I $。 二次型 $ g(x_1, x_2) = -x_1^2 + 2x_2^2 + 2x_1x_2 $ 的矩阵 $ B = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} $。 计算得 $ P^T B P = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} $，对应标准形系数 $ k_1 = -1 $，$ k_2 = 2 $。 **答案：** \[ \boxed{ P = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad k_1 = -1, \quad k_2 = 2 } \]