题目
将n只球随机地放在m个盒子中,每个盒子可装任意多个球，每个球以同样的概率落入每个盒子中，有球盒子数X的数学期望。
将n只球随机地放在m个盒子中,每个盒子可装任意多个球，每个球以同样的概率落入每个盒子中，有球盒子数X的数学期望。
题目解答
答案
设X表示有球的盒子数.引入随机变量X(i)X(i)=1 (第i只盒子中有球)X(i)=0 (第i只盒子中无球)P(X(i)=1)=1-((m-1)/m)nP(X(i)=0)=((m-1)/m)nEX(i)=1×P(X(i))+0×P(X(i))=1-((m-1)/m)nEX=E(X(1)+X(2)+……+X(m)=EX(1)+EX(2)+……EX(m)=m×(1-((m-1)/m)n)所以EX=m×(1-((m-1)/m)n
解析
步骤 1：定义随机变量
定义随机变量 \(X_i\)，其中 \(X_i = 1\) 表示第 \(i\) 个盒子中有球，\(X_i = 0\) 表示第 \(i\) 个盒子中无球。则有球的盒子数 \(X = X_1 + X_2 + \cdots + X_m\)。
步骤 2：计算单个盒子有球的概率
每个球落入每个盒子的概率是相同的，即每个球落入第 \(i\) 个盒子的概率为 \(\frac{1}{m}\)。因此，第 \(i\) 个盒子中无球的概率为 \(\left(\frac{m-1}{m}\right)^n\)，因为每个球都有 \(\frac{m-1}{m}\) 的概率不落入第 \(i\) 个盒子，且有 \(n\) 个球。所以，第 \(i\) 个盒子中有球的概率为 \(1 - \left(\frac{m-1}{m}\right)^n\)。
步骤 3：计算有球盒子数的数学期望
根据期望的线性性质，有球盒子数 \(X\) 的数学期望为 \(E[X] = E[X_1 + X_2 + \cdots + X_m] = E[X_1] + E[X_2] + \cdots + E[X_m]\)。由于每个 \(X_i\) 的期望值相同，即 \(E[X_i] = 1 \times P(X_i = 1) + 0 \times P(X_i = 0) = 1 - \left(\frac{m-1}{m}\right)^n\)，因此 \(E[X] = m \times \left(1 - \left(\frac{m-1}{m}\right)^n\right)\)。
定义随机变量 \(X_i\)，其中 \(X_i = 1\) 表示第 \(i\) 个盒子中有球，\(X_i = 0\) 表示第 \(i\) 个盒子中无球。则有球的盒子数 \(X = X_1 + X_2 + \cdots + X_m\)。
步骤 2：计算单个盒子有球的概率
每个球落入每个盒子的概率是相同的，即每个球落入第 \(i\) 个盒子的概率为 \(\frac{1}{m}\)。因此，第 \(i\) 个盒子中无球的概率为 \(\left(\frac{m-1}{m}\right)^n\)，因为每个球都有 \(\frac{m-1}{m}\) 的概率不落入第 \(i\) 个盒子，且有 \(n\) 个球。所以，第 \(i\) 个盒子中有球的概率为 \(1 - \left(\frac{m-1}{m}\right)^n\)。
步骤 3：计算有球盒子数的数学期望
根据期望的线性性质，有球盒子数 \(X\) 的数学期望为 \(E[X] = E[X_1 + X_2 + \cdots + X_m] = E[X_1] + E[X_2] + \cdots + E[X_m]\)。由于每个 \(X_i\) 的期望值相同，即 \(E[X_i] = 1 \times P(X_i = 1) + 0 \times P(X_i = 0) = 1 - \left(\frac{m-1}{m}\right)^n\)，因此 \(E[X] = m \times \left(1 - \left(\frac{m-1}{m}\right)^n\right)\)。