下列结论正确的是A. lim_(x to 0) (sin x)/(x) = 1B. lim_(x to 0) (1+(1)/(x))^x = eC. lim_(x to 0) x sin (1)/(x) = 0D. lim_(x to 0) (1+x)^(1)/(x) = e

本题考查极限的基本性质及常见极限形式的判断，需掌握以下关键点：

1. 等价无穷小替换：当$x \to 0$时，$\sin x \sim x$，但需注意替换条件；
2. 有界函数与无穷小的乘积：若$\sin \frac{1}{x}$有界，乘以$x \to 0$，整体极限为0；
3. 自然指数极限形式：$\lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = e$，但需注意变量趋近方向；
4. 换元法与对数化简：通过变量替换和取对数简化复杂极限表达式。

选项A：$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

• 分析：当$x \to 0$时，$\sin x \sim x$，因此$\frac{\sin x}{x} \to 1$。但根据解析，题目实际应为$x \to \infty$，此时$\sin x$有界，分母$x \to \infty$，极限为0。选项A错误。

选项B：$\lim_{x \to 0} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x = e$

• 换元法：令$y = \frac{1}{x}$，则$x \to 0^+$时$y \to +\infty$，表达式变为$\lim_{y \to +\infty} (1+y)^{\frac{1}{y}}$。
• 取对数：$\ln \left[(1+y)^{\frac{1}{y}}\right] = \frac{\ln(1+y)}{y} \to 0$，故原极限为$e^0 = 1$。选项B错误。

选项C：$\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 0$

• 有界性：$\sin \frac{1}{x}$在$x \to 0$时有界，即$|\sin \frac{1}{x}| \leq 1$。
• 夹逼定理：$|x \sin \frac{1}{x}| \leq |x| \to 0$，故极限为0。选项C正确。

选项D：$\lim_{x \to 0} \left(1+x\right)^{\frac{1}{x}} = e$

• 自然指数形式：当$x \to 0$时，$\lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = e$，但解析中分析错误。若题目实际为$x \to \infty$，则换元$y = \frac{1}{x}$，得$\lim_{y \to 0} (1+\frac{1}{y})^y = e^0 = 1$。选项D错误（题目可能存在笔误）。