题目
设A、B为两事件，P（A）=(1)/(3)，P（B）=(2)/(3)，P（A|B）=(1)/(4)，求：（1）P（overline(A)∪overline(B)）；（2）P（A|A∪overline(B)）；（3）P（overline(A)|overline(B)）．
设A、B为两事件，P（A）=$\frac{1}{3}$，P（B）=$\frac{2}{3}$，P（A|B）=$\frac{1}{4}$，求：
（1）P（$\overline{A}$∪$\overline{B}$）；
（2）P（A|A∪$\overline{B}$）；
（3）P（$\overline{A}$|$\overline{B}$）．
（1）P（$\overline{A}$∪$\overline{B}$）；
（2）P（A|A∪$\overline{B}$）；
（3）P（$\overline{A}$|$\overline{B}$）．
题目解答
答案
解：由题意得，P（AB）=P（B）P（A|B）=$\frac{2}{3}×\frac{1}{4}$=$\frac{1}{6}$，P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（AB）=$\frac{5}{6}$．
（1）P（$\overline{A}$∪$\overline{B}$）=1-P（AB）=1-$\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$；
（2）P（A|A∪$\overline{B}$）=$\frac{P[A∩（A∪\overline{B}）]}{P（A∪\overline{B}）}$=$\frac{P（A）}{P（\overline{B}）+P（AB）}$=$\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}+\frac{1}{6}}$=$\frac{2}{3}$；
（3）P（$\overline{A}$|$\overline{B}$）=$\frac{P（\overline{A}\overline{B}）}{P（\overline{B}）}$=$\frac{1-P（A∪B）}{1-P（B）}$=$\frac{1-\frac{5}{6}}{1-\frac{2}{3}}=\frac{1}{2}$．
（1）P（$\overline{A}$∪$\overline{B}$）=1-P（AB）=1-$\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$；
（2）P（A|A∪$\overline{B}$）=$\frac{P[A∩（A∪\overline{B}）]}{P（A∪\overline{B}）}$=$\frac{P（A）}{P（\overline{B}）+P（AB）}$=$\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}+\frac{1}{6}}$=$\frac{2}{3}$；
（3）P（$\overline{A}$|$\overline{B}$）=$\frac{P（\overline{A}\overline{B}）}{P（\overline{B}）}$=$\frac{1-P（A∪B）}{1-P（B）}$=$\frac{1-\frac{5}{6}}{1-\frac{2}{3}}=\frac{1}{2}$．
解析
步骤 1：计算P（AB）
根据条件概率的定义，P（A|B）=$\frac{P（AB）}{P（B）}$，所以P（AB）=P（B）P（A|B）=$\frac{2}{3}×\frac{1}{4}$=$\frac{1}{6}$。
步骤 2：计算P（A∪B）
根据概率的加法公式，P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（AB）=$\frac{1}{3}+\frac{2}{3}-\frac{1}{6}$=$\frac{5}{6}$。
步骤 3：计算P（$\overline{A}$∪$\overline{B}$）
根据德摩根定律，P（$\overline{A}$∪$\overline{B}$）=1-P（AB）=1-$\frac{1}{6}$=$\frac{5}{6}$。
步骤 4：计算P（A|A∪$\overline{B}$）
根据条件概率的定义，P（A|A∪$\overline{B}$）=$\frac{P[A∩（A∪\overline{B}）]}{P（A∪\overline{B}）}$=$\frac{P（A）}{P（\overline{B}）+P（AB）}$=$\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}+\frac{1}{6}}$=$\frac{2}{3}$。
步骤 5：计算P（$\overline{A}$|$\overline{B}$）
根据条件概率的定义，P（$\overline{A}$|$\overline{B}$）=$\frac{P（\overline{A}\overline{B}）}{P（\overline{B}）}$=$\frac{1-P（A∪B）}{1-P（B）}$=$\frac{1-\frac{5}{6}}{1-\frac{2}{3}}$=$\frac{1}{2}$。
根据条件概率的定义，P（A|B）=$\frac{P（AB）}{P（B）}$，所以P（AB）=P（B）P（A|B）=$\frac{2}{3}×\frac{1}{4}$=$\frac{1}{6}$。
步骤 2：计算P（A∪B）
根据概率的加法公式，P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（AB）=$\frac{1}{3}+\frac{2}{3}-\frac{1}{6}$=$\frac{5}{6}$。
步骤 3：计算P（$\overline{A}$∪$\overline{B}$）
根据德摩根定律，P（$\overline{A}$∪$\overline{B}$）=1-P（AB）=1-$\frac{1}{6}$=$\frac{5}{6}$。
步骤 4：计算P（A|A∪$\overline{B}$）
根据条件概率的定义，P（A|A∪$\overline{B}$）=$\frac{P[A∩（A∪\overline{B}）]}{P（A∪\overline{B}）}$=$\frac{P（A）}{P（\overline{B}）+P（AB）}$=$\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}+\frac{1}{6}}$=$\frac{2}{3}$。
步骤 5：计算P（$\overline{A}$|$\overline{B}$）
根据条件概率的定义，P（$\overline{A}$|$\overline{B}$）=$\frac{P（\overline{A}\overline{B}）}{P（\overline{B}）}$=$\frac{1-P（A∪B）}{1-P（B）}$=$\frac{1-\frac{5}{6}}{1-\frac{2}{3}}$=$\frac{1}{2}$。