四点(2,1,-1),(1,-1,1),(1,0,0),(1,5,-5)按这顺序的交比是()A. 1B. -1C. (1)/(2)D. (2)/(3)

本题考查射影几何中四点交比的计算。解题思路是先明确四点交比的定义和计算公式，然后将题目中给定的四点坐标代入公式进行计算。

设四个共线点$P_1(x_1,y_1,z_1)$，$P_2(x_2,y_2,z_2)$，$P_3(x_3,y_3,z_3)$，$P_4(x_4,y_4,z_4)$，它们的交比$(P_1P_2,P_3P_4)$定义为：
$(P_1P_2,P_3P_4)=\frac{(P_1P_3)(P_2P_4)}{(P_1P_4)(P_2P_3)}$
其中$(P_iP_j)$表示有向线段$P_iP_j$的长度。

对于空间中的两点$P_i(x_i,y_i,z_i)$和$P_j(x_j,y_j,z_j)$，若它们在同一条直线上，可通过参数方程来计算有向线段的比例关系。设直线上一点$P$的坐标为$(x,y,z)$，且$\overrightarrow{P_iP}=\lambda\overrightarrow{P_iP_j}$，则有：
$\begin{cases}x - x_i=\lambda(x_j - x_i)\\y - y_i=\lambda(y_j - y_i)\\z - z_i=\lambda(z_j - z_i)\end{cases}$

已知四点$P_1(2,1,-1)$，$P_2(1,-1,1)$，$P_3(1,0,0)$，$P_4(1,5,-5)$。
先判断这四点是否共线，设过$P_1$，$P_2$的直线参数方程为：
$\begin{cases}x = 2+(1 - 2)t=2 - t\\y = 1+(-1 - 1)t=1 - 2t\\z=-1+(1 + 1)t=-1 + 2t\end{cases}$

对于点$P_3(1,0,0)$，代入$x = 2 - t = 1$，解得$t = 1$；代入$y = 1 - 2t$，$1-2\times1=-1\neq0$，说明我们可以通过向量的方法来计算交比。

设$\overrightarrow{P_1P_3}=(1 - 2,0 - 1,0 + 1)=(-1,-1,1)$，$\overrightarrow{P_1P_2}=(1 - 2,-1 - 1,1 + 1)=(-1,-2,2)$，$\overrightarrow{P_1P_4}=(1 - 2,5 - 1,-5 + 1)=(-1,4,-4)$。

根据交比的性质，若$\overrightarrow{P_1P_3}=\lambda\overrightarrow{P_1P_2}$，$\overrightarrow{P_1P_4}=\mu\overrightarrow{P_1P_2}$，则$(P_1P_2,P_3P_4)=\frac{\lambda}{\mu}$。

设$\overrightarrow{P_1P_3}=\lambda\overrightarrow{P_1P_2}$，即$(-1,-1,1)=\lambda(-1,-2,2)$，可得方程组$\begin{cases}-1=-\lambda\\-1=-2\lambda\\1 = 2\lambda\end{cases}$，解得$\lambda=\frac{1}{2}$。

设$\overrightarrow{P_1P_4}=\mu\overrightarrow{P_1P_2}$，即$(-1,4,-4)=\mu(-1,-2,2)$，可得方程组$\begin{cases}-1=-\mu\\4=-2\mu\\-4 = 2\mu\end{cases}$，解得$\mu=-2$。

则交比$(P_1P_2,P_3P_4)=\frac{\lambda}{\mu}=\frac{\frac{1}{2}}{-2}=-\frac{1}{4}$，发现这种方法有误。

我们换一种方法，利用交比的坐标表示公式。
设四点$P_1(x_1,y_1,z_1)$，$P_2(x_2,y_2,z_2)$，$P_3(x_3,y_3,z_3)$，$P_4(x_4,y_4,z_4)$，交比$(P_1P_2,P_3P_4)=\frac{\frac{x_3 - x_1}{x_3 - x_2}}{\frac{x_4 - x_1}{x_4 - x_2}}$（这里以$x$坐标为例，因为四点共线，用$x,y,z$坐标计算结果相同）。

将$x_1 = 2$，$x_2 = 1$，$x_3 = 1$，$x_4 = 1$代入可得：
$(P_1P_2,P_3P_4)=\frac{\frac{1 - 2}{1 - 1}}{\frac{1 - 2}{1 - 1}}$，此式分母为$0$，说明不能直接用这种形式。

我们用向量叉乘判断共线，$\overrightarrow{P_1P_2}=(1 - 2,-1 - 1,1 + 1)=(-1,-2,2)$，$\overrightarrow{P_1P_3}=(1 - 2,0 - 1,0 + 1)=(-1,-1,1)$，$\overrightarrow{P_1P_4}=(1 - 2,5 - 1,-5 + 1)=(-1,4,-4)$。

因为$\overrightarrow{P_1P_2}\cdot\overrightarrow{P_1P_3}=(-1)\times(-1)+(-2)\times(-1)+2\times1=1 + 2+2 = 5$，$\overrightarrow{P_1P_2}\cdot\overrightarrow{P_1P_4}=(-1)\times(-1)+(-2)\times4+2\times(-4)=1-8 - 8=-15$。

设$\overrightarrow{P_1P_3}=\lambda\overrightarrow{P_1P_2}$，$\overrightarrow{P_1P_4}=\mu\overrightarrow{P_1P_2}$，由$\overrightarrow{P_1P_3}$与$\overrightarrow{P_1P_2}$，$\overrightarrow{P_1P_4}$与$\overrightarrow{P_1P_2}$的关系，我们可以通过行列式来计算。

四点共线，交比$(P_1P_2,P_3P_4)=\frac{\begin{vmatrix}x_1&y_1&z_1&1\\x_2&y_2&z_2&1\\x_3&y_3&z_3&1\\x_4&y_4&z_4&1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}x_1&y_1&z_1&1\\x_2&y_2&z_2&1\\x_4&y_4&z_4&1\\x_3&y_3&z_3&1\end{vmatrix}}$

$\begin{vmatrix}2&1&-1&1\\1&-1&1&1\\1&0&0&1\\1&5&-5&1\end{vmatrix}$
$=2\times\begin{vmatrix}-1&1&1\\0&0&1\\5&-5&1\end{vmatrix}-1\times\begin{vmatrix}1&1&1\\1&0&1\\1&-5&1\end{vmatrix}+(-1)\times\begin{vmatrix}1&-1&1\\1&0&1\\1&5&1\end{vmatrix}+1\times\begin{vmatrix}1&-1&1\\1&0&0\\1&5&-5\end{vmatrix}$

$=2\times(-1\times(0\times1 - 0\times(-5))-1\times(0\times1 - 0\times5)+1\times(0\times(-5)-0\times5))-1\times(1\times(0\times1 - 0\times(-5))-1\times(1\times1 - 1\times1)+1\times(1\times(-5)-1\times0))-1\times(1\times(0\times1 - 0\times5)-(-1)\times(1\times1 - 1\times1)+1\times(1\times5 - 1\times0))+1\times(1\times(0\times(-5)-0\times5)-(-1)\times(1\times(-5)-1\times0)+1\times(1\times5 - 1\times0))$
$=2\times0-1\times0 - 1\times5+1\times(-5 + 5+5)=-5$

$\begin{vmatrix}2&1&-1&1\\1&-1&1&1\\1&5&-5&1\\1&0&0&1\end{vmatrix}$
$=2\times\begin{vmatrix}-1&1&1\\5&-5&1\\0&0&1\end{vmatrix}-1\times\begin{vmatrix}1&1&1\\1&-5&1\\1&0&1\end{vmatrix}+(-1)\times\begin{vmatrix}1&-1&1\\1&5&1\\1&0&1\end{vmatrix}+1\times\begin{vmatrix}1&-1&1\\1&5&-5\\1&0&0\end{vmatrix}$

$=2\times(-1\times((-5)\times1 - 0\times1)-1\times(5\times1 - 0\times(-5))+1\times(5\times0 - 0\times(-5)))-1\times(1\times((-5)\times1 - 0\times1)-1\times(1\times1 - 1\times1)+1\times(1\times0 - 1\times(-5)))-1\times(1\times(5\times1 - 0\times1)-(-1)\times(1\times1 - 1\times1)+1\times(1\times0 - 1\times5))+1\times(1\times(5\times0 - 0\times(-5))-(-1)\times(1\times0 - 1\times(-5))+1\times(1\times0 - 1\times5))$
$=2\times(5 - 5+0)-1\times(-5+0 + 5)-1\times(5-0 - 5)+1\times(0 - 5-5)=5$

则交比$(P_1P_2,P_3P_4)=\frac{-5}{5}=-1$