题目

(6)lim_(ntoinfty)2^nsin(x)/(2^n)(x为不等于零的常数，nin N)

(6)$\lim_{n\to\infty}2^{n}\sin\frac{x}{2^{n}}(x为不等于零的常数，n\in N)$

题目解答

答案

当 $n \to \infty$ 时，$\frac{x}{2^n} \to 0$。利用等价无穷小性质 $\sin \theta \sim \theta$（$\theta \to 0$），得： \[ \sin \frac{x}{2^n} \sim \frac{x}{2^n}. \] 因此， \[ \lim_{n \to \infty} 2^n \sin \frac{x}{2^n} = \lim_{n \to \infty} 2^n \cdot \frac{x}{2^n} = \lim_{n \to \infty} x = x. \] 或者，利用极限性质： \[ \lim_{n \to \infty} 2^n \sin \frac{x}{2^n} = \lim_{n \to \infty} x \cdot \frac{\sin \frac{x}{2^n}}{\frac{x}{2^n}} = x \cdot 1 = x. \] **答案：** $\boxed{x}$

解析

考查要点：本题主要考查数列极限的计算，特别是利用等价无穷小替换或极限性质处理涉及三角函数与指数函数的乘积形式。

解题核心思路：
当$n \to \infty$时，$\frac{x}{2^n} \to 0$，此时$\sin \frac{x}{2^n}$可以近似为$\frac{x}{2^n}$（等价无穷小替换）。通过替换后，原式中的$2^n$与分母的$2^n$抵消，直接得到极限值。

破题关键点：

  1. 识别变量趋势：明确当$n \to \infty$时，$\frac{x}{2^n} \to 0$。
  2. 应用等价无穷小：利用$\sin \theta \sim \theta$（当$\theta \to 0$）简化表达式。
  3. 化简求极限：替换后直接约分，得到常数项$x$。

步骤1：分析变量趋势
当$n \to \infty$时，分母$2^n$指数增长，因此$\frac{x}{2^n} \to 0$。

步骤2：应用等价无穷小替换
根据等价无穷小性质，当$\theta \to 0$时，$\sin \theta \sim \theta$，因此：
$\sin \frac{x}{2^n} \sim \frac{x}{2^n}.$

步骤3：代入并化简
将替换结果代入原式：
$2^n \sin \frac{x}{2^n} \sim 2^n \cdot \frac{x}{2^n} = x.$

步骤4：求极限
由于化简后的表达式为常数$x$，当$n \to \infty$时，极限值为$x$。