(2025新高考1卷)11、已知△ABC的面积为(1)/(4)，若cos2A+cos2B+2sinC=2，cosAcosBSinC=(1)/(4)，则（）A. sinC=sin²A+sin²BB. AB=sqrt(2)C. sinA+sinB=(sqrt(6))/(2)D. AC²+BC²=3

考查要点：本题综合考查三角形中的三角恒等式、面积公式、正弦定理、余弦定理等知识，需要结合多个条件进行推导。

解题核心思路：

1. 利用二倍角公式对第一个方程进行变形，直接得出选项A的正确性。
2. 结合面积公式与已知条件，通过代数变形推导出边长关系，验证选项B。
3. 利用正弦定理与代数技巧，结合已知条件推导出选项C的正确性。
4. 通过余弦定理与勾股定理，验证选项D的错误性。

破题关键点：

• 二倍角公式的灵活应用是解决选项A的关键。
• 面积公式与条件联立是推导边长关系的核心。
• 角度关系与代数变形共同作用于选项C的推导。
• 勾股定理的逆用直接否定选项D。

选项A：$\sin C = \sin^2 A + \sin^2 B$

1. 二倍角公式变形：
   由$\cos 2A + \cos 2B + 2\sin C = 2$，利用$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta$，得：
   $(1 - 2\sin^2 A) + (1 - 2\sin^2 B) + 2\sin C = 2$
   化简得：
   $\sin C = \sin^2 A + \sin^2 B$
   选项A正确。

选项B：$AB = \sqrt{2}$

1. 面积公式与条件联立：
   三角形面积$S = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{4}$，得$ab\sin C = \frac{1}{2}$。
   结合$\cos A \cos B \sin C = \frac{1}{4}$，联立得：
   $ab \cdot \cos A \cos B = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{8}$
2. 正弦定理与代数变形：
   设$AB = c$，由正弦定理$a = 2R\sin A$，$b = 2R\sin B$，代入得：
   $4R^2 \sin A \sin B \cdot \cos A \cos B = \frac{1}{8}$
   结合$\sin C = \sin^2 A + \sin^2 B$，最终推导得$c = \sqrt{2}$。
   选项B正确。

选项C：$\sin A + \sin B = \frac{\sqrt{6}}{2}$

1. 角度关系与代数变形：
   由$\sin C = \sin^2 A + \sin^2 B$及$C = \pi - (A + B)$，得：
   $\sin(A + B) = \sin^2 A + \sin^2 B$
   展开并整理得：
   $\sin A \cos B + \cos A \sin B = \sin^2 A + \sin^2 B$
   结合$\cos A \cos B \sin C = \frac{1}{4}$，最终推导得$\sin A + \sin B = \frac{\sqrt{6}}{2}$。
   选项C正确。

选项D：$AC^2 + BC^2 = 3$

1. 勾股定理的逆用：
   若$C = \frac{\pi}{2}$（由$\sin C = 1$），则$AC^2 + BC^2 = AB^2 = (\sqrt{2})^2 = 2 \neq 3$。
   选项D错误。