注 类似地，已知函数f(x,y)=}(x^2+y^2)cdot sin (1)/(xy),&xyneq 0,0,&xy=0,则在点(0,0)处(A)(partial f(x,y))/(partial x)连续，f(x,y)可微. (B)(partial f(x,y))/(partial x)连续，f(x,y)不可微.(C)(partial f(x,y))/(partial x)不连续，f(x,y)可微. (D)(partial f(x,y))/(partial x)不连续，f(x,y)不可微.

为了确定函数 $ f(x, y) $ 在点 $(0,0)$ 处的性质，我们需要分析偏导数的连续性和函数的可微性。让我们一步步进行。 ### 第1步：计算 $ f(x, y) $ 在 $(0,0)$ 处的偏导数 偏导数 $ \frac{\partial f}{\partial x} $ 在 $(0,0)$ 处定义为： \[ \frac{\partial f}{\partial x}(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h,0) - f(0,0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{0 - 0}{h} = 0. \] 同样，偏导数 $ \frac{\partial f}{\partial y} $ 在 $(0,0)$ 处为： \[ \frac{\partial f}{\partial y}(0,0) = \lim_{k \to 0} \frac{f(0,k) - f(0,0)}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{0 - 0}{k} = 0. \] ### 第2步：计算 $ f(x, y) $ 在 $(x, y) \neq (0,0)$ 处的偏导数 对于 $ xy \neq 0 $，偏导数 $ \frac{\partial f}{\partial x} $ 为： \[ \frac{\partial f}{\partial x} = 2x \sin \frac{1}{xy} + (x^2 + y^2) \cos \frac{1}{xy} \left( -\frac{1}{x^2 y} \right) = 2x \sin \frac{1}{xy} - \frac{(x^2 + y^2) \cos \frac{1}{xy}}{x^2 y}. \] ### 第3步：检查 $ \frac{\partial f}{\partial x} $ 在 $(0,0)$ 处的连续性 我们需要检查： \[ \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\partial f}{\partial x} = 0. \] 考虑沿直线 $ y = x $ 的极限： \[ \lim_{x \to 0} \frac{\partial f}{\partial x}(x,x) = \lim_{x \to 0} \left( 2x \sin \frac{1}{x^2} - \frac{(x^2 + x^2) \cos \frac{1}{x^2}}{x^3} \right) = \lim_{x \to 0} \left( 2x \sin \frac{1}{x^2} - \frac{2 \cos \frac{1}{x^2}}{x} \right). \] 项 $ 2x \sin \frac{1}{x^2} $ 趋于 0，但项 $ -\frac{2 \cos \frac{1}{x^2}}{x} $ 不趋于任何有限值，因为 $ \cos \frac{1}{x^2} $ 在 $ x \to 0 $ 时在 -1 和 1 之间振荡。因此，极限不存在，$ \frac{\partial f}{\partial x} $ 在 $(0,0)$ 处不连续。 ### 第4步：检查 $ f(x, y) $ 在 $(0,0)$ 处的可微性 函数 $ f(x, y) $ 在 $(0,0)$ 处可微，如果： \[ \lim_{(h,k) \to (0,0)} \frac{f(h,k) - f(0,0) - \frac{\partial f}{\partial x}(0,0)h - \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)k}{\sqrt{h^2 + k^2}} = 0. \] 这简化为： \[ \lim_{(h,k) \to (0,0)} \frac{(h^2 + k^2) \sin \frac{1}{hk}}{\sqrt{h^2 + k^2}} = \lim_{(h,k) \to (0,0)} \sqrt{h^2 + k^2} \sin \frac{1}{hk}. \] 由于 $ \sin \frac{1}{hk} $ 在 -1 和 1 之间有界，$ \sqrt{h^2 + k^2} \sin \frac{1}{hk} $ 趋于 0 当 $ (h,k) \to (0,0) $。因此，$ f(x, y) $ 在 $(0,0)$ 处可微。 ### 结论 偏导数 $ \frac{\partial f}{\partial x} $ 在 $(0,0)$ 处不连续，但函数 $ f(x, y) $ 在 $(0,0)$ 处可微。正确答案是： \[ \boxed{C} \]