题目
6.证明下列极限不存在:-|||-(1) lim _(xarrow 0)dfrac ({x)^2}({x)^4+(y)^2}-|||-(2) lim _(xarrow 0)dfrac (x+y)(x-y)
题目解答
答案
解析
步骤 1：分析极限 (1)
考虑极限 $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2}{x^4 + y^2}$。为了证明该极限不存在，我们可以通过选择不同的路径来观察极限值是否一致。
步骤 2：选择路径 y = kx
设 $y = kx$，其中 $k$ 是常数。将 $y = kx$ 代入极限表达式中，得到：
$$\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x^4 + (kx)^2} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x^4 + k^2x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2 + k^2} = \frac{1}{k^2}$$
步骤 3：选择路径 y = 0
设 $y = 0$，将 $y = 0$ 代入极限表达式中，得到：
$$\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x^4 + 0^2} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x^4} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = \infty$$
步骤 4：分析极限 (2)
考虑极限 $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x+y}{x-y}$。为了证明该极限不存在，我们可以通过选择不同的路径来观察极限值是否一致。
步骤 5：选择路径 y = kx
设 $y = kx$，其中 $k$ 是常数。将 $y = kx$ 代入极限表达式中，得到：
$$\lim_{x \to 0} \frac{x + kx}{x - kx} = \lim_{x \to 0} \frac{1 + k}{1 - k}$$
步骤 6：选择路径 y = 0
设 $y = 0$，将 $y = 0$ 代入极限表达式中，得到：
$$\lim_{x \to 0} \frac{x + 0}{x - 0} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = 1$$
考虑极限 $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2}{x^4 + y^2}$。为了证明该极限不存在，我们可以通过选择不同的路径来观察极限值是否一致。
步骤 2：选择路径 y = kx
设 $y = kx$，其中 $k$ 是常数。将 $y = kx$ 代入极限表达式中，得到：
$$\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x^4 + (kx)^2} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x^4 + k^2x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2 + k^2} = \frac{1}{k^2}$$
步骤 3：选择路径 y = 0
设 $y = 0$，将 $y = 0$ 代入极限表达式中，得到：
$$\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x^4 + 0^2} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x^4} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = \infty$$
步骤 4：分析极限 (2)
考虑极限 $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x+y}{x-y}$。为了证明该极限不存在，我们可以通过选择不同的路径来观察极限值是否一致。
步骤 5：选择路径 y = kx
设 $y = kx$，其中 $k$ 是常数。将 $y = kx$ 代入极限表达式中，得到：
$$\lim_{x \to 0} \frac{x + kx}{x - kx} = \lim_{x \to 0} \frac{1 + k}{1 - k}$$
步骤 6：选择路径 y = 0
设 $y = 0$，将 $y = 0$ 代入极限表达式中，得到：
$$\lim_{x \to 0} \frac{x + 0}{x - 0} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = 1$$