题目
17.计算int_(1)^2dyint_(sqrt(y-1))^1(sin x)/(x)dx.
17.计算$\int_{1}^{2}dy\int_{\sqrt{y-1}}^{1}\frac{\sin x}{x}dx$.
题目解答
答案
原积分可表示为：
\[
\int_{1}^{2}dy\int_{\sqrt{y-1}}^{1}\frac{\sin x}{x}dx.
\]
交换积分顺序，区域 $D$ 为 $0 \leq x \leq 1$，$1 \leq y \leq x^2 + 1$。积分变为：
\[
\int_{0}^{1}dx\int_{1}^{x^2+1}\frac{\sin x}{x}dy.
\]
先对 $y$ 积分：
\[
\int_{1}^{x^2+1}\frac{\sin x}{x}dy = \frac{\sin x}{x} \left[ y \right]_{1}^{x^2+1} = x \sin x.
\]
再对 $x$ 积分：
\[
\int_{0}^{1} x \sin x \, dx = \left[ -x \cos x \right]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} \cos x \, dx = -\cos 1 + \sin 1 = \sin 1 - \cos 1.
\]
**答案：** $\boxed{\sin 1 - \cos 1}$
解析
考查要点：本题主要考查二重积分的计算，特别是通过交换积分顺序简化计算的能力。关键在于正确确定积分区域并调整积分次序。
解题思路：
- 交换积分顺序：原积分对$x$的积分限含根号，直接计算困难，需交换积分顺序。
- 确定积分区域：通过分析原积分限，画出$x$-$y$平面的积分区域，找到$x$和$y$的新积分限。
- 简化积分：交换后先对$y$积分，被积函数中的$\frac{\sin x}{x}$与$y$无关，积分结果简化为$x \sin x$。
- 分部积分：对$x \sin x$使用分部积分法完成最终计算。
交换积分顺序
原积分区域由$1 \leq y \leq 2$和$\sqrt{y-1} \leq x \leq 1$确定。通过分析$x$的范围：
- 当$y=1$时，$x$下限为$\sqrt{0}=0$；
- 当$y=2$时，$x$下限为$\sqrt{1}=1$；
- 因此$x$的范围为$0 \leq x \leq 1$，对应的$y$范围为$1 \leq y \leq x^2 + 1$（由$x = \sqrt{y-1}$变形得$y = x^2 + 1$）。
对$y$积分
交换顺序后积分变为：
$\int_{0}^{1} dx \int_{1}^{x^2 + 1} \frac{\sin x}{x} dy$
对$y$积分：
$\int_{1}^{x^2 + 1} \frac{\sin x}{x} dy = \frac{\sin x}{x} \cdot (x^2 + 1 - 1) = x \sin x$
对$x$积分
剩余积分：
$\int_{0}^{1} x \sin x \, dx$
使用分部积分法：
- 设$u = x$，$dv = \sin x \, dx$，则$du = dx$，$v = -\cos x$；
- 积分结果为：
$\left[ -x \cos x \right]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} \cos x \, dx = -\cos 1 + \sin 1$