6.单选题 设流速场vec(v)=yzvec(i)+xzvec(j)+xyvec(k)，则流体穿过曲面x^2+y^2=a^2(0le zle h)的流量为（）. A. 0 B. pi a^2 C. 3pi a^2 D. 2pi a^2

为了求出流体穿过曲面 $x^2 + y^2 = a^2$（其中 $0 \le z \le h$）的流量，我们需要计算流速场 $\vec{v} = yz \vec{i} + xz \vec{j} + xy \vec{k}$ 通过该曲面的通量。该曲面是一个半径为 $a$、高度为 $h$ 的圆柱侧面。 流体通过曲面的流量由曲面积分 $\iint_S \vec{v} \cdot \vec{n} \, dS$ 给出，其中 $\vec{n}$ 是曲面的单位外法向量。 首先，我们对曲面进行参数化。圆柱侧面可以参数化为： \[ \vec{r}(\theta, z) = a \cos \theta \vec{i} + a \sin \theta \vec{j} + z \vec{k}, \quad 0 \le \theta \le 2\pi, \quad 0 \le z \le h. \] 曲面的单位外法向量 $\vec{n}$ 是 $\vec{r}$ 关于 $\theta$ 和 $z$ 的偏导数的叉积，归一化后得到： \[ \vec{r}_\theta = -a \sin \theta \vec{i} + a \cos \theta \vec{j}, \quad \vec{r}_z = \vec{k}, \] \[ \vec{r}_\theta \times \vec{r}_z = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -a \sin \theta & a \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = a \cos \theta \vec{i} + a \sin \theta \vec{j}. \] 由于这个向量指向外，它就是单位外法向量（除了归一化，但在这个情况下，它已经归一化，因为其大小是 $a$，对于曲面积分，我们可以直接使用）： \[ \vec{n} = \frac{1}{a} (a \cos \theta \vec{i} + a \sin \theta \vec{j}) = \cos \theta \vec{i} + \sin \theta \vec{j}. \] 现在，我们将流速场 $\vec{v}$ 表达为 $\theta$ 和 $z$ 的函数： \[ \vec{v} = yz \vec{i} + xz \vec{j} + xy \vec{k} = (a \sin \theta) z \vec{i} + (a \cos \theta) z \vec{j} + (a \cos \theta)(a \sin \theta) \vec{k} = a z \sin \theta \vec{i} + a z \cos \theta \vec{j} + a^2 \cos \theta \sin \theta \vec{k}. \] 点积 $\vec{v} \cdot \vec{n}$ 为： \[ \vec{v} \cdot \vec{n} = (a z \sin \theta \vec{i} + a z \cos \theta \vec{j} + a^2 \cos \theta \sin \theta \vec{k}) \cdot (\cos \theta \vec{i} + \sin \theta \vec{j}) = a z \sin \theta \cos \theta + a z \cos \theta \sin \theta = 2 a z \cos \theta \sin \theta. \] 曲面积分变为： \[ \iint_S \vec{v} \cdot \vec{n} \, dS = \int_0^h \int_0^{2\pi} 2 a z \cos \theta \sin \theta \, a \, d\theta \, dz = 2 a^2 \int_0^h z \, dz \int_0^{2\pi} \cos \theta \sin \theta \, d\theta. \] 我们分别计算每个积分。首先，关于 $z$ 的积分： \[ \int_0^h z \, dz = \left[ \frac{z^2}{2} \right]_0^h = \frac{h^2}{2}. \] 接下来，关于 $\theta$ 的积分： \[ \int_0^{2\pi} \cos \theta \sin \theta \, d\theta = \int_0^{2\pi} \frac{1}{2} \sin 2\theta \, d\theta = \frac{1}{2} \left[ -\frac{\cos 2\theta}{2} \right]_0^{2\pi} = \frac{1}{2} \left( -\frac{\cos 4\pi}{2} + \frac{\cos 0}{2} \right) = \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \right) = 0. \] 由于 $\theta$ 的积分是零，曲面积分也是零： \[ 2 a^2 \int_0^h z \, dz \int_0^{2\pi} \cos \theta \sin \theta \, d\theta = 2 a^2 \cdot \frac{h^2}{2} \cdot 0 = 0. \] 因此，流体穿过曲面的流量是 $\boxed{0}$。正确答案是 $\boxed{A}$。