题目
函数 f(x,y,z)=xyz 在两个平面 x+y+z-30=0 与-|||-x+y-z=0 的交线上的最大值是843.75.A.错误B.正确
A.错误
B.正确
题目解答
答案
B. 正确
解析
步骤 1：确定交线方程
两个平面的方程分别为 x+y+z-30=0 和 x+y-z=0。将这两个方程联立，可以解出交线的方程。将第二个方程中的 z 用 x+y 代替，代入第一个方程，得到 x+y+(x+y)-30=0，即 2x+2y-30=0，简化后得到 x+y=15。因此，交线方程为 x+y=15，z=x+y=15。
步骤 2：将交线方程代入函数 f(x,y,z)
将交线方程 x+y=15 和 z=x+y=15 代入函数 f(x,y,z)=xyz，得到 f(x,y,z)=x*y*(x+y)=x*y*15。因此，问题转化为求函数 g(x,y)=15xy 在 x+y=15 条件下的最大值。
步骤 3：求函数 g(x,y)=15xy 在 x+y=15 条件下的最大值
由于 x+y=15，可以将 y 表示为 y=15-x。将 y=15-x 代入 g(x,y)=15xy，得到 g(x)=15x(15-x)=225x-15x^2。这是一个开口向下的二次函数，其最大值在顶点处取得。顶点的 x 坐标为 x=-b/(2a)=-225/(2*(-15))=7.5。因此，y=15-x=7.5。将 x=7.5 和 y=7.5 代入 g(x,y)=15xy，得到 g(7.5,7.5)=15*7.5*7.5=843.75。
两个平面的方程分别为 x+y+z-30=0 和 x+y-z=0。将这两个方程联立，可以解出交线的方程。将第二个方程中的 z 用 x+y 代替，代入第一个方程，得到 x+y+(x+y)-30=0，即 2x+2y-30=0，简化后得到 x+y=15。因此，交线方程为 x+y=15，z=x+y=15。
步骤 2：将交线方程代入函数 f(x,y,z)
将交线方程 x+y=15 和 z=x+y=15 代入函数 f(x,y,z)=xyz，得到 f(x,y,z)=x*y*(x+y)=x*y*15。因此，问题转化为求函数 g(x,y)=15xy 在 x+y=15 条件下的最大值。
步骤 3：求函数 g(x,y)=15xy 在 x+y=15 条件下的最大值
由于 x+y=15，可以将 y 表示为 y=15-x。将 y=15-x 代入 g(x,y)=15xy，得到 g(x)=15x(15-x)=225x-15x^2。这是一个开口向下的二次函数，其最大值在顶点处取得。顶点的 x 坐标为 x=-b/(2a)=-225/(2*(-15))=7.5。因此，y=15-x=7.5。将 x=7.5 和 y=7.5 代入 g(x,y)=15xy，得到 g(7.5,7.5)=15*7.5*7.5=843.75。