.11-12 如图所示,两根质量均为8kg的均质细杆固连成T字形,可绕通过O点的水平轴转动,当OA处于-|||-水平位置时,T形杆具有角速度 omega =4rad/s 。求该瞬时轴承O处的约束力。-|||-C-|||-0 A-|||-0.5m B-|||-一-|||-习题 11-12 图

本题主要考察刚体绕定轴转动时的约束力计算，需结合质心运动定理和绕定轴转动的微分方程求解。以下是关键步骤：

1. 确定研究对象与运动分析

研究对象为T字形均质细杆，绕O点水平轴转动。已知：

• 每根杆质量 $m = 8\,\text{kg}$，总质量 $M = 16\,\text{kg}$；
• 角速度 $\omega = 4\,\text{rad/s}$（顺时针），角加速度 $\alpha$ 待求；
• OA杆长 $0.5\,\text{m}$，OB杆长 $1\,\text{m}$（图中隐含）。

2. 计算质心位置与加速度

质心坐标

以O为原点，水平x轴向右，竖直y轴向上：

• OA杆质心 $C_1(0.25\,\text{m}, 0)$（OA中点）；
• OB杆质心 $C_2(0, -0.5\,\text{m})$（OB中点）；
• 总质心 $C$ 坐标：
  $x_C = \frac{m \cdot 0.25 + m \cdot 0}{2m} = 0.125\,\text{m}, \quad y_C = \frac{m \cdot 0 + m \cdot (-0.5)}{2m} = -0.25\,\text{m}$

质心加速度

切向加速度 $a_{\text{t}} = r\alpha$，法向加速度 $a_{\text{n}} = r\omega^2$：

• $a_{Cx} = a_{\text{t}x} + a_{\text{n}x} = -y_C\alpha + x_C\omega^2$
• $a_{Cy} = a_{\text{t}y} + a_{\text{n}y} = -x_C\alpha - y_C\omega^2$

3. 计算惯性力力与转动微分方程

惯性力系简化

绕定轴转动刚体的惯性力系主矢 $\boldsymbol{F}_{\text{I}} = -M\boldsymbol{a}_C$，主矩 $M_{\text{IO}} = -J_O\alpha$，其中转动惯量 $J_O = \frac{1}{3}mL_1^2 + \frac{1}{3}mL_2^2 = \frac{1}{3}m(0.5^2 + 1^2) = \frac{11}{24}m$。

动静法平衡方程

对O点取矩：
$\sum M_O = M_{\text{IO}} \,}} \implies 0 = J_O\alpha - mg \cdot 0.25 - mg \cdot 0.5$
解得 $\alpha = \frac{3g}{4} \approx 7.35\,\text{rad/s}^2$（顺时针）。

4. 求解约束力

由质心运动定理 $\sum \boldsymbol{F} = M\boldsymbol{a}_C}$：

• x方向：$F_{Ox} = M(a_{\text{t}x} + a_{\text{n}x) = -96\,\text{N}$
• y方向：$F_{Oy} - 2mg = M(a_{\text{t}y} + a_{\text{n}y}) \approx 32.3\,\text{N}$