题目
设函数 y=y(x) 由参数方程 {x=t2+2ty=ln(1+t) 确定，则曲线 y=y(x) 在 x=3 处的法线与 x 轴交点的横坐标是 () A. 18ln2+3 B. −18ln2+3 C. −8ln2+3 D. 8ln2+3
设函数
A.
B.
C.
D.
题目解答
答案
∵x=3时，由x=t
2+2t解得；t=1，t=-3，而t=-3时，y无意义
∴t=1
又
|t＝1＝[
]|t＝1＝
|t＝1＝
∴y在x=3处的法线方程为：y-ln2=-8(x-3)
令y=0，得：x=
+3
故选：A．
∴t=1
又
| dy |
| dx |
|
||
|
|
||
| 2t+2 |
| 1 |
| 8 |
∴y在x=3处的法线方程为：y-ln2=-8(x-3)
令y=0，得：x=
| ln2 |
| 8 |
故选：A．
解析
步骤 1：确定 t 的值
由参数方程 x = t^2 + 2t，当 x = 3 时，我们有：
3 = t^2 + 2t
解这个方程，我们得到：
t^2 + 2t - 3 = 0
(t + 3)(t - 1) = 0
所以，t = -3 或 t = 1
由于 y = ln(1 + t)，当 t = -3 时，y 无意义，因此我们选择 t = 1。
步骤 2：计算 dy/dx
由参数方程，我们有：
dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt)
其中，dy/dt = 1 / (1 + t)，dx/dt = 2t + 2
当 t = 1 时，我们有：
dy/dt = 1 / (1 + 1) = 1/2
dx/dt = 2 * 1 + 2 = 4
因此，dy/dx = (1/2) / 4 = 1/8
步骤 3：确定法线方程
在 x = 3 处，y = ln(1 + 1) = ln2
法线斜率为 -1 / (dy/dx) = -8
法线方程为：y - ln2 = -8(x - 3)
令 y = 0，我们得到：
0 - ln2 = -8(x - 3)
ln2 = 8(x - 3)
x = ln2 / 8 + 3
由参数方程 x = t^2 + 2t，当 x = 3 时，我们有：
3 = t^2 + 2t
解这个方程，我们得到：
t^2 + 2t - 3 = 0
(t + 3)(t - 1) = 0
所以，t = -3 或 t = 1
由于 y = ln(1 + t)，当 t = -3 时，y 无意义，因此我们选择 t = 1。
步骤 2：计算 dy/dx
由参数方程，我们有：
dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt)
其中，dy/dt = 1 / (1 + t)，dx/dt = 2t + 2
当 t = 1 时，我们有：
dy/dt = 1 / (1 + 1) = 1/2
dx/dt = 2 * 1 + 2 = 4
因此，dy/dx = (1/2) / 4 = 1/8
步骤 3：确定法线方程
在 x = 3 处，y = ln(1 + 1) = ln2
法线斜率为 -1 / (dy/dx) = -8
法线方程为：y - ln2 = -8(x - 3)
令 y = 0，我们得到：
0 - ln2 = -8(x - 3)
ln2 = 8(x - 3)
x = ln2 / 8 + 3