题目

已知曲线积分(int )_(1)^1(1+dfrac ({cos )^2}({x)^2}cos dfrac (y)(x))dx+(sin dfrac (y)(x)+dfrac (by)(x)cos dfrac (y)(x))dy cosy/a)dx+(siny/s+bycxoyg当(int )_(1)^1(1+dfrac ({cos )^2}({x)^2}cos dfrac (y)(x))dx+(sin dfrac (y)(x)+dfrac (by)(x)cos dfrac (y)(x))dy cosy/a)dx+(siny/s+bycxoyg0" data-width="50" data-height="20" data-size="795" data-format="png" style="max-width:100%">时与路径无关，（1）求常数(int )_(1)^1(1+dfrac ({cos )^2}({x)^2}cos dfrac (y)(x))dx+(sin dfrac (y)(x)+dfrac (by)(x)cos dfrac (y)(x))dy cosy/a)dx+(siny/s+bycxoyg（2）求(int )_(1)^1(1+dfrac ({cos )^2}({x)^2}cos dfrac (y)(x))dx+(sin dfrac (y)(x)+dfrac (by)(x)cos dfrac (y)(x))dy cosy/a)dx+(siny/s+bycxoyg，使得(int )_(1)^1(1+dfrac ({cos )^2}({x)^2}cos dfrac (y)(x))dx+(sin dfrac (y)(x)+dfrac (by)(x)cos dfrac (y)(x))dy cosy/a)dx+(siny/s+bycxoyg

已知曲线积分 $\int_L^{ }\left(1+\frac{ay^2}{x^2}\cos\frac{y}{x}\right)dx+\left(\sin\frac{y}{x}+\frac{by}{x}\cos\frac{y}{x}\right)dy$ 当 $x>0$ 时与路径无关，

（1）求常数 $a,b$

（2）求 $u\left(x,y\right)$ ，使得 $du=\left(1+\frac{ay^{2}}{x^{2}}\cos\frac{y}{x}\right)dx+\left(\sin\frac{y}{x}+\frac{by}{x}\cos\frac{y}{x}\right)dy$

题目解答

答案

解：（1）已知曲线积分 $\int_L^{ }\left(1+\frac{ay^2}{x^2}\cos\frac{y}{x}\right)dx+\left(\sin\frac{y}{x}+\frac{by}{x}\cos\frac{y}{x}\right)dy$ 当 $x>0$ 时与路径无关，记 $P\left(x,y\right)=1+\frac{ay^2}{x^2}\cos\frac{y}{x}$ ， $Q\left(x,y\right)=\sin\frac{y}{x}+\frac{by}{x}\cos\frac{y}{x}$

则有：

$\frac{\partial Q}{\partial x}=-\left(1+b\right)\frac{y}{x^2}\cos\frac{y}{x}+\frac{by^2}{x^3}\sin\frac{y}{x}$

$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{2ay}{x^2}\cos\frac{y}{x}-\frac{ay^2}{x^3}\sin\frac{y}{x}$

由 $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$ 可得： $a=-1,b=1$

（2）现选取从点 $\left(0,0\right)$ 到点 $\left(x,y\right)$ 的折现路径求原函数，得：

$u\left(x,y\right)=\int_0^x1dx+\int_0^y\left(\sin\frac{y}{x}+\frac{y}{x}\cos\frac{y}{x}\right)dy=x+y\sin\frac{y}{x}+C$

解析

考查要点：本题主要考查曲线积分与路径无关的条件，以及求解原函数的方法。
解题思路：

第一问：利用曲线积分与路径无关的条件，即向量场的旋度为零，即$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$，通过偏导数计算联立方程求解$a$和$b$。
第二问：通过选取特定路径计算原函数，通常选择从原点沿坐标轴移动的折线路径，分步积分得到结果。

第（1）题

关键步骤：

写出$P(x,y)$和$Q(x,y)$：
$P(x,y) = 1 + \frac{a y^2}{x^2} \cos\frac{y}{x}, \quad Q(x,y) = \sin\frac{y}{x} + \frac{b y}{x} \cos\frac{y}{x}$
计算偏导数：
- $\frac{\partial Q}{\partial x} = -\frac{(1+b)y}{x^2} \cos\frac{y}{x} + \frac{b y^2}{x^3} \sin\frac{y}{x}$
- $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{2a y}{x^2} \cos\frac{y}{x} - \frac{a y^2}{x^3} \sin\frac{y}{x}$
联立方程：
令$\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}$，比较系数得：
- $\cos\frac{y}{x}$项：$-(1+b) = 2a$
- $\sin\frac{y}{x}$项：$b = -a$
  解得：$a = -1$，$b = 1$。

第（2）题

关键步骤：

选取路径：从$(0,0)$沿$x$轴到$(x,0)$，再沿$y$轴到$(x,y)$。
分步积分：
- 沿$x$轴积分：$\int_0^x 1 \, dx = x$
- 沿$y$轴积分：$\int_0^y \left( \sin\frac{y}{x} + \frac{y}{x} \cos\frac{y}{x} \right) dy = y \sin\frac{y}{x}$
合并结果：原函数为$t(x,y) = x + y \sin\frac{y}{x} + C$（$C$为常数）。