17.[福建漳州期中]阅读材料:小强同学在解方程-|||-组 ) 2x+5y=3bigcirc (1) 4x+11y=5bigcirc (2) .-|||-请你解决以下问题:

整体代换法是解决这类方程组的关键，通过将某个方程变形，利用已知方程的整体表达式进行代换，简化计算。对于含二次项的方程组，代入消元和整数解分析是核心思路，需结合代数运算与因数分解寻找符合条件的整数解。

第（1）题

变形方程②

将方程② $6x + 11y = 35$ 变形为 $6x + 10y + y = 35$，即 $2(3x + 5y) + y = 35$。

代入方程①

由方程① $3x + 5y = 16$，代入得 $2 \times 16 + y = 35$，解得 $y = 3$。

求解$x$

将 $y = 3$ 代入方程①，得 $3x + 5 \times 3 = 16$，解得 $x = \dfrac{1}{3}$。

第（2）题

(i) 求$xy$的值

代入方程①到方程②

由方程① $2x^2 - xy + 3y^2 = 24$，代入方程②得：
$3 \times 24 + 7xy = 51 \implies 72 + 7xy = 51 \implies xy = -3.$

(ii) 求所有整数解

分析整数解可能性

$xy = -3$ 的整数解可能为：
$\begin{cases}x = 1, y = -3 \\x = -1, y = 3 \\x = 3, y = -1 \\x = -3, y = 1\end{cases}$

验证方程①

将上述解代入方程① $2x^2 - xy + 3y^2 = 24$：

• $x = 3, y = -1$：$2 \times 9 - (3 \times -1) + 3 \times 1 = 18 + 3 + 3 = 24$，成立。
• $x = -3, y = 1$：$2 \times 9 - (-3 \times 1) + 3 \times 1 = 18 + 3 + 3 = 24$，成立。
  其他组合均不满足方程①。