题目

P-|||-Q如图所示，两小球P、Q用不可伸长的细线连接，分别穿在水平粗糙细杆和竖直光滑细杆上，球P的质量为m=0.1kg，球Q的质量为M=0.3kg，两球均可视为质点.当整个装置以竖直杆为轴以角速度ω匀速转动时，两金属球始终与杆在图示位置保持相对静止，已知球P与竖直杆之间距离为L1=0.75m，细线长度L=1.25m，球P与水平杆之间的动摩擦因数μ=0.5，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g=10m/s2。求ω的取值范围。

如图所示，两小球P、Q用不可伸长的细线连接，分别穿在水平粗糙细杆和竖直光滑细杆上，球P的质量为m=0.1kg，球Q的质量为M=0.3kg，两球均可视为质点.当整个装置以竖直杆为轴以角速度ω匀速转动时，两金属球始终与杆在图示位置保持相对静止，已知球P与竖直杆之间距离为L₁=0.75m，细线长度L=1.25m，球P与水平杆之间的动摩擦因数μ=0.5，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g=10m/s²。求ω的取值范围。

题目解答

答案

解：设细线与水平方向的夹角为θ，由题意知cosθ=$\frac{OP}{PQ}$=$\frac{0.75}{1.25}$=$\frac{3}{5}$，金属球P与粗糙杆间的最大静摩擦力为f=μ（mg+Tsinθ）
对于球Q有Mg=Tsinθ
代入数据解得：f=2N
细线对金属球P的拉力沿PO方向的分力为T_PO=Tcosθ
解得：T_PO=$\frac{9}{4}$N＞f
所以角速度ω=0时金属环B相对于细杆不能保持静止，设角速度最小为ω₁时金属环B恰能相对于细杆保持静止，则有Tcosθ-f=m${ω}_{1}^{2}$•OP
解得ω₁=$\sqrt{\frac{10}{3}}$rad/s
设角速度最大为ω₂时金属环B恰能相对于细杆保持静止，则有Tcosθ+f=m${ω}_{2}^{2}$•OP
解得ω₂=$\sqrt{\frac{170}{3}}$rad/s
所以角速度ω的范围为：$\sqrt{\frac{10}{3}}$rad/s≤ω≤$\sqrt{\frac{170}{3}}$rad/s.
答：角速度ω的范围为：$\sqrt{\frac{10}{3}}$rad/s≤ω≤$\sqrt{\frac{170}{3}}$rad/s.

解析

步骤 1：确定细线与水平方向的夹角
细线与水平方向的夹角θ可以通过球P与竖直杆之间的距离L_1和细线长度L计算得出。根据三角函数，cosθ = L_1 / L = 0.75 / 1.25 = 3 / 5。
步骤 2：计算最大静摩擦力
球P与水平杆之间的最大静摩擦力f = μ(mg + Tsinθ)，其中T为细线的张力。由于球Q的质量为M，根据平衡条件，Mg = Tsinθ，因此T = Mg / sinθ。
步骤 3：计算细线对球P的拉力沿PO方向的分力
细线对球P的拉力沿PO方向的分力为Tcosθ = (Mg / sinθ)cosθ = Mg / tanθ。
步骤 4：确定角速度的最小值
当角速度ω最小，即ω_1时，细线对球P的拉力沿PO方向的分力减去最大静摩擦力等于球P的向心力，即Tcosθ - f = mω_1^2 * L_1。将Tcosθ和f的表达式代入，解得ω_1。
步骤 5：确定角速度的最大值
当角速度ω最大，即ω_2时，细线对球P的拉力沿PO方向的分力加上最大静摩擦力等于球P的向心力，即Tcosθ + f = mω_2^2 * L_1。将Tcosθ和f的表达式代入，解得ω_2。