题目
线性方程组的增广矩阵是1 0 2 1 1-|||-0 1 -2 1 -1-|||-0 -2 4 -2 2-|||-0 0 0 1 1则这个方程组解的情况是_。A,有唯一解 B,无解 C,有4个解 D,有无穷多个解
线性方程组的增广矩阵是
则这个方程组解的情况是_。
A,有唯一解 B,无解 C,有4个解 D,有无穷多个解
题目解答
答案
解：D
由增广矩阵可知
为
的矩阵，所以
将增广矩阵化为行阶梯形矩阵，
得到
交换
得
根据最简矩阵可得
，其中的最简矩阵为
则
根据非齐次线性方程组解得情形有：
当
时，有唯一解。
当
时，有无穷解
当时，无解
因此，该线性方程组
时，有无穷解
解析
步骤 1：确定增广矩阵的行数和列数
增广矩阵的行数和列数可以告诉我们方程组的变量数和方程数。增广矩阵的列数比行数多1，表示方程组的变量数比方程数多1，即方程组的变量数为4，方程数为3。
步骤 2：化简增广矩阵为行阶梯形矩阵
将增广矩阵化简为行阶梯形矩阵，以便于分析方程组的解的情况。通过行变换，将增广矩阵化简为行阶梯形矩阵。
步骤 3：分析行阶梯形矩阵的秩
根据行阶梯形矩阵的秩，可以判断方程组的解的情况。如果行阶梯形矩阵的秩等于方程组的变量数，则方程组有唯一解；如果行阶梯形矩阵的秩小于方程组的变量数，则方程组有无穷多个解；如果行阶梯形矩阵的秩小于方程组的方程数，则方程组无解。
步骤 4：判断方程组的解的情况
根据行阶梯形矩阵的秩，判断方程组的解的情况。如果行阶梯形矩阵的秩等于方程组的变量数，则方程组有唯一解；如果行阶梯形矩阵的秩小于方程组的变量数，则方程组有无穷多个解；如果行阶梯形矩阵的秩小于方程组的方程数，则方程组无解。
增广矩阵的行数和列数可以告诉我们方程组的变量数和方程数。增广矩阵的列数比行数多1，表示方程组的变量数比方程数多1，即方程组的变量数为4，方程数为3。
步骤 2：化简增广矩阵为行阶梯形矩阵
将增广矩阵化简为行阶梯形矩阵，以便于分析方程组的解的情况。通过行变换，将增广矩阵化简为行阶梯形矩阵。
步骤 3：分析行阶梯形矩阵的秩
根据行阶梯形矩阵的秩，可以判断方程组的解的情况。如果行阶梯形矩阵的秩等于方程组的变量数，则方程组有唯一解；如果行阶梯形矩阵的秩小于方程组的变量数，则方程组有无穷多个解；如果行阶梯形矩阵的秩小于方程组的方程数，则方程组无解。
步骤 4：判断方程组的解的情况
根据行阶梯形矩阵的秩，判断方程组的解的情况。如果行阶梯形矩阵的秩等于方程组的变量数，则方程组有唯一解；如果行阶梯形矩阵的秩小于方程组的变量数，则方程组有无穷多个解；如果行阶梯形矩阵的秩小于方程组的方程数，则方程组无解。