题目

1.仓库中有甲、乙、丙三个工厂生产100箱同种产品,分别占50箱,30箱,20箱,其次品率分别为2% ,4% ,5%.现在从中任取一件产品,求:(1)该产品为次品的概率;(2)如果已知抽出一件产品为次品,则其是甲厂生产的概率.

1.仓库中有甲、乙、丙三个工厂生产100箱同种产品,分别占50箱,30箱,20箱,其次品率分别为2% ,4% ,5%.现在从中任取一件产品,求:

(1)该产品为次品的概率;

(2)如果已知抽出一件产品为次品,则其是甲厂生产的概率.

题目解答

答案

（1）令事件A、B、C分别为产品来自甲、乙、丙厂，事件D为取到的产品为次品，则由题意得：

$P\left(A\right)=\frac{50}{100}=\frac{1}{2}\ \ P\left(B\right)=\frac{30}{100}=\frac{3}{10}\ \ P\left(C\right)=\frac{20}{100}=\frac{1}{5}$

$P\left(D|A\right)=2\%\ \ P\left(D|B\right)=4\%\ \ P\left(D|C\right)=5\%$

令事件E为“从中任取一件产品，该产品为次品”，则

$P\left(E\right)=P\left(AD\right)+P\left(BD\right)+P\left(CD\right)=P\left(A\right)P\left(D|A\right)+P\left(B\right)P\left(D|B\right)+P\left(C\right)\ P\left(D|C\right)=\frac{1}{2}\times2\%+\frac{3}{10}\times4\%+\frac{1}{5}\times5\%=3.2\%$ 因此，本题答案为3.2%。

（2）由题意知，题目所求概率为 $P\left(A|D\right)$

则 $P\left(A|D\right)=\frac{P\left(AD\right)}{P\left(D\right)}=\frac{P\left(A\right)P\left(D|A\right)}{P\left(D\right)}=\frac{\frac{1}{2}\times2\%}{3.2\%}=31.25\%$

因此，本题答案为31.25%。

解析

步骤 1：定义事件
令事件A、B、C分别为产品来自甲、乙、丙厂，事件D为取到的产品为次品，则由题意得：
$P(A)=\dfrac {50}{100}=\dfrac {1}{2}$ $P(B)=\dfrac {30}{100}=\dfrac {3}{10}$ $P(C)=\dfrac {20}{100}=\dfrac {1}{5}$
$P(D|A)=2\% $ $P(D|B)=4\% $ $P(D|C)=5\% $
步骤 2：计算该产品为次品的概率
令事件E为“从中任取一件产品，该产品为次品”，则
$P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C)$
$P(D)=\dfrac {1}{2}\times 2\% +\dfrac {3}{10}\times 4\% +\dfrac {1}{5}\times 5\% =3.2\% $
步骤 3：计算已知抽出一件产品为次品，其是甲厂生产的概率
由题意知，题目所求概率为P(A|D)
则$P(A|D)=\dfrac {P(AD)}{P(D)}=\dfrac {P(A)P(D|A)}{P(D)}=\dfrac {\dfrac {1}{2}\times 2\% }{3.2\% }=31.25\% $