20.问数a为何值时，线性方程组 }x_{1)+x_(2)+x_(3)+x_(4)=1,2x_(1)+x_(2)-x_(3)+x_(4)=2,4x_(1)+2x_(2)-2x_(3)+2x_(4)=a.有无穷多解，并求出其通解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示）.

为了确定 $a$ 的值，使得线性方程组 \[ \left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=1,\\2x_{1}+x_{2}-x_{3}+x_{4}=2,\\4x_{1}+2x_{2}-2x_{3}+2x_{4}=a\end{matrix}\right. \] 有无穷多解，我们需要分析该方程组的增广矩阵。增广矩阵为： \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & -1 & 1 & 2 \\ 4 & 2 & -2 & 2 & a \end{pmatrix} \] 首先，我们对增广矩阵进行行初等变换。将第二行减去第一行的2倍，得到： \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -3 & -1 & 0 \\ 4 & 2 & -2 & 2 & a \end{pmatrix} \] 接下来，将第三行减去第一行的4倍，得到： \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -3 & -1 & 0 \\ 0 & -2 & -6 & -2 & a-4 \end{pmatrix} \] 然后，将第三行减去第二行的2倍，得到： \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -3 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & a-4 \end{pmatrix} \] 为了使方程组有无穷多解，增广矩阵的秩必须等于系数矩阵的秩，且都小于未知数的个数。从上述矩阵中，我们可以看出，如果 $a = 4$，则第三行将变为全零行，增广矩阵的秩为2，与系数矩阵的秩相等，且都小于4。因此，当 $a = 4$ 时，方程组有无穷多解。 现在，我们求 $a = 4$ 时方程组的通解。此时，方程组的增广矩阵为： \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -3 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \] 这对应于方程组： \[ \left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=1,\\-x_{2}-3x_{3}-x_{4}=0\end{matrix}\right. \] 从第二个方程中解出 $x_2$，得到： \[ x_2 = -3x_3 - x_4 \] 将 $x_2$ 代入第一个方程，得到： \[ x_1 + (-3x_3 - x_4) + x_3 + x_4 = 1 \implies x_1 - 2x_3 = 1 \implies x_1 = 1 + 2x_3 \] 因此，方程组的通解为： \[ \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 + 2x_3 \\ -3x_3 - x_4 \\ x_3 \\ x_4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} + x_3 \begin{pmatrix}2 \\ -3 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} + x_4 \begin{pmatrix}0 \\ -1 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} \] 其中，$x_3$ 和 $x_4$ 是自由变量。因此，方程组的通解为： \[ \boxed{4} \] \[ \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} + k_1 \begin{pmatrix}2 \\ -3 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} + k_2 \begin{pmatrix}0 \\ -1 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} \] 其中 $k_1$ 和 $k_2$ 是任意常数。